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funzioni, limiti

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per la stessa definizione, per calcolare il $\lim _{x=a}y$ si devono esaminare i valori che $y$ assume in punti distinti dal punto $x=a$.

Osservazione 4^a. Se in un intorno di $x=a$ la $y$ riceve costantemente uno stesso valore $b$, evidentemente il $\lim _{x=a}y=b$.

Osservazione 5^a. La $\lim y=b$ si legge: il limite di $y$ per $x=a$ è $b$; oppure $y$ tende al limite $b$, o anche tende a $b$ per $x=a$, oppure per $x=a$ la $y-b$ tende a zero, diventa infinitesima, è infinitesima.

Sarà un utile esercizio del lettore illustrare le precedenti definizioni per gli esempi del § 31.

Osservazione 6^a. Supponiamo che esista il $\lim _{x=a}y=l$, e che, quando $x\not =a$, si abbia $y>k$ oppure $y\geq k$.

Dovranno esistere dei valori di $y$ tali che $|y-l|<\varepsilon$ e in particolare che $l\geq y-\varepsilon$. Poichè ogni valore della $y$ non è inferiore a $k$, sarà $l\geq k-\varepsilon$; ma $\varepsilon$ è un numero piccolo a piacere. Dovrà dunque essere $l\geq k$.

Così pure, se per $x\not =a$ è $y<k$, oppure $y\leq k$, è $l\leq k$.

Come si vede, le disuguaglianze precedenti relative alla $y$ si conservano attenuate (mi sia lecita la frase) per un limite di $y$. Dico attenuate, perchè se, per esempio, $y>k$, dalla $l=\lim y$ posso non già dedurre che $l>k$, ma soltanto che $l\geq k$. Un fatto analogo ci è già noto (pagina 10) per i limiti superiore ed inferiore.

Osservazione 7^a. Viceversa, se, per esempio, $\lim y=l<k$, esiste per ogni $\varepsilon >0$ arbitrario un intorno $\gamma$ di $a$ tale che in questo intorno $y\leq l+\varepsilon$. Scelto $\varepsilon <k-l$, sarà dunque in tale intorno $y<k$. Un risultato analogo si ottiene se $l>k$.

Dalla disuguaglianza $\lim y<k$ [oppure $\lim y>k$] si deduce quindi una disuguaglianza $y<k$ [oppure $y>k$] per i valori della $y$; la quale però (si noti) è valida non già per tutti i valori della $y$; ma soltanto per quei valori che la $y$ riceve in un conveniente intorno del punto $a.$

Invece dalla $y<k$ [oppure $y>k$] si ricava soltanto $\lim y\leq k$ [oppure $\lim y\geq k$], se questi limiti esistono e sono finiti. Anche dalla $y\leq k$ [oppure $y\geq k$] si ricava la stessa disuguaglianza.

B) Converremo di scrivere $\lim _{x=a}y=\infty$ se $\lim _{x=a}{\frac {1}{y}}=0$.

Scelto ad arbitrio un numero $\varepsilon$ positivo, e, posto $k={\frac {1}{\varepsilon }}$, dovrà dunque esistere un intorno $\gamma$ di $a$ tale che per tutti i