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capitolo vi — § 32

punti di questo intorno (il punto $a$ escluso) che appartengono al campo $G$ ove $y$ è definita, sia $\left|{\frac {1}{y}}\right|\leq \varepsilon$, ossia $|y|\geq k$, cioè valga l’una o l’altra delle disuguaglianza: $y\geq k$ oppure $y\leq -k$.

Possiamo dunque dire:

È $\lim _{x=a}y=\infty$, se, scelto ad arbitrio un numero k positivo (arbitrariamente grande), esiste un intorno $\gamma$ di a, tale che nei punti di $\gamma$, ove la y è definita, e che sono distinti da a, valga la $|y|\geq k$, cioè valga la:

$y\geq k$

oppure la

$y\leq -k$.

Se vale sempre in $\gamma$ la prima di queste ultime due disuguaglianze, se cioè y è positiva in tutto un intorno di a, si dirà che il limite di y è $+\infty$.

Se vale in $\gamma$ la seconda, si dirà che $\lim _{x=a}y=-\infty$.

Se in ogni intorno di $a$ la $y$ assume valori tanto positivi che negativi, essa, pur tendendo a $\infty$, non tende nè a $+\infty$, nè a $-\infty$.

Anche qui potremo distinguere il limite per $x=a+0$, e il limite per $x=a-0$.

Dunque $\lim _{x=a}y=b$, (essendo anche $a=\infty$ oppure $b=\infty$) allora e allora soltanto che, dato a piacere un intorno $\beta$ di b, si può trovare un intorno $\alpha$ di a tale che quando $x\not =a$ varia in $\alpha$ assumendo valori per cui y è definita, i corrispondenti valori di y appartengono a $\beta$.

Il lettore veda come si modifica questa proposizione, se, per esempio, $b=+\infty$, oppure $b=-\infty$, o se si tratta del limite per $x=a+$ oppure per $x=a-$.

C) Come abbiamo visto in un esempio precedente, può bene avvenire che $\lim _{x=a-0}y$, $\lim _{x=a+0}y$ esistano entrambi, e siano differenti l’uno dall’altro; nè ciò può stupire, perchè per il primo limite si considerano i valori di $y$ per $x$ posto a sinistra di $a$; e per il secondo limite si considerano tutt’altri valori della $y$: quelli corrispondenti a valori di $x$ posti a destra di $a$.

Vogliamo dimostrare però il seguente:

Teorema di unicità. La y non può avere due limiti distinti, per esempio, per $x=a+0$; cosicchè il $\lim _{x=a+0}y$ o non esiste, oppure ha un unico valore ben determinato.