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capitolo vi — § 35

Dimostreremo il teorema nel caso $n=2$; il caso generale si tratta, o con metodo analogo, oppure col metodo di induzione completa, osservando che:

$(y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n})=(y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n-1})+y_{n}$.

Sia $\eta$ un numero arbitrario: esisterà un intorno destra $\alpha _{1}$ di a in cui $|y_{1}-l_{1}|<\eta$, ed un intorno $\alpha _{2}<$ di a, in cui $|y_{2}-l_{2}|<\eta$. Se $\alpha$ è un intorno intero tanto ad $\alpha _{1}$ che ad $\alpha _{2}$, allora in $\alpha$ valgono entrambe le precedenti disuguaglianze; donde si deduce:

$|(y_{1}+y_{2})-(l_{1}+l_{2})|\leq |y-l_{1}|+|y_{2}-l_{2}|<\eta +\eta =2\eta$.

Quindi, dato un numero $\varepsilon$ piccolo a piacere e positivo, se ne deduce, posto $\eta ={\frac {\varepsilon }{2}}$, che esiste un intorno $\alpha$ di a, in cui $(y_{1}+y_{2})-(l_{1}+l_{2})$ è minore di $2\eta =\varepsilon$ in valore assoluto.

c.d.d.

Osservazione Per stabilire la precedente disuguaglianza sono partito dalla $|a+b|\leq |a|+|b|$ del § 4, $\delta$, pagina 13.

$\beta )$ Nelle stesse ipotesi di $\alpha )$ il limite del prodotto $\mathrm {y_{1},y_{2}\ldots y_{n}}$ esiste ed è uguale al prodotto $\mathrm {l_{1},l_{2}\ldots l_{n}}$ dei limiti.

Supponiamo, come sopra, $n=2$. Come sopra si dimostra che, dato un numero positivo $\eta$ qualsiasi, esiste un intorno $\alpha$ di a, in cui valgono entrambe le $|y_{1}-l_{1}|\leq \eta$, $|y_{2}-l_{2}|\leq \eta$.

Si avrà in tale intorno:

$|y_{1}y_{2}-l_{1}l_{2}|=$

$=|y_{1}(y_{2}-l_{2})+l_{2}(y_{1}-l_{1})|\leq |y_{1}||y_{2}-l_{2}|+|l_{2}||y_{1}-l_{1}|$

$\leq ||l_{1}|+\eta |\eta +|l_{2}|\eta \leq \eta ||l_{1}|+|l_{2}|+\eta |$.

Sia ora $\varepsilon$ un numero piccolo a piacere; scelto $\eta$ tale che $\eta <1$. $\eta <{\frac {\epsilon }{1+|l_{1}|+|l_{2}|}}$, esisterà un intorno $\alpha$ di a in cui: $|y_{1}y_{2}-l_{1}l_{2}|\leq \eta ||l_{1}|+|l_{2}|+\eta |<{\frac {\epsilon }{1+|l_{1}|+|l_{2}|}}||l_{1}|+|l_{2}|+1|=\epsilon$ ossia: $|y_{1}y_{2}-l_{1}l_{2}|<\epsilon$.                                                                                c.d.d.

$\gamma )$ Se $\lim y_{1}=l_{1}$ e se $l_{1}$ è un numero finito diverso da zero, esiste un intorno $\alpha$ di a, in cui $|y_{1}-l_{1}|<\left|{\frac {l_{1}}{2}}\right|$, e quindi