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FUNZIONI, LIMITI

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§ 36. — Funzioni continue.

$\alpha )$ Sia $y=f(x)$ una funzione reale della $x$ definita in un certo intervallo. Hanno speciale importanzaa tra così fatte funzioni¹ quelle funzioni che si sogliono chiamare continue, perchè variano con continuità al variare della $X$, cosicché se la $x$ varia di pochissimo, anche la $y$ varia di pochissimo. Prima di dare una definizione precisa di tali funzioni osserviamo che la fisica ci dà un esempio non soltanto di funzioni continue, ma anche di funzioni non continue (discontinue).

Sia, p. es., data una certa quantità di ghiaccio alla temperatura di $-10^{\circ }$. Noi indicheremo con $y$ la minima quantità di calore necessaria per elevare la temperatura del ghiaccio sa $-10^{\circ }$ a $x$ gradi. La $y$ sarà una quantità definita per tutti i valori di $x$, che corrispondono a temperature sperimentalmente raggiungibili; sarà cioè una funzione di $x$ (positiva per $x>-10^{\circ }$, negativa per $x<-10$, nulla per $z=-10$). Consideriamo la $y$ come funzione della $x$ nell'intervallo $<(-10,0)$. In questo intervallo la $y$ è continua, perchè varia con continuità al variare continuo di $x$, in quanto che per piccolissimi innalzamenti di temperatura occorrono piccolissime quantità di calore. Anzi, se noi ricorriamo ad una rappresentazione grafica, la curva immagine è, come insegna la fisica, prossimamente coincidente con un segmento rettilineo $MC$² (fig. )

Fig. 10.

Ma consideriamo la $y$ in tutto l'intervallo $(-10,+2)$.

Ricordiamo che, se si somministra a poco a poco del calore al ghiaccio per innalzarne la temperatura, si osserva che, giunto a $0$, il termometro per un po' di tempo non segna aumento di temperatura, perchè il calore fornito viene assorbito dalla liquefazione del ghiaccio.

Quando questo è tutto liquefatto, la temperatura ricomincia a salire man mano. Per $100>x>0$ la nostra funzione $y$ è

1. Restano così escluse dalle seguenti considerazioni le funzioni definite in un gruppo $G$ di punti, che non sia un intervallo.
2. Avverto che la figura rappresenta soltanto, qualitativamente, e non quantitativamente, il fenomeno fisico.