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FUNZIONI, LIMITI

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mancano l'uno o l'altro die limiti precedenti, o mancano tutti e due.

Se una funzione $f(x)$ è continua in ogni punto $c$ dell'intervallo ($a,b$) la $f(x)$ si dice continua nell'intervallo (a,b).

Una funzione complessa $u(x)+iv(x)$ si dirà continua per $x=a$, se $u(x),v(x)$ sono continue per $x=a$.

$\beta$) Dalla definizione stessa dei teoremi del § 35 segue che:

La somma ed il prodotto di più funzioni continue in un punto c [o nell'intervallo (a, b)] sono continui nello stesso punto (nello stesso intervallo).

Se $f(x),\varphi (x)$ sono cintinue in c, e $\varphi (c)\not =0$, allora il rapporto ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$ esiste in un intorno di questo punto ed è continuo per$x=c$.

Esempi di funzioni continue.

1° La fuhnzione $\operatorname {sen} x$ è continua dappertutto. basta far vedere che $\lim _{h=0}\operatorname {sen}(x+h)=\operatorname {sen} x$, ossia che:

$\lim _{h=o}[\operatorname {sen}(x+h)-\operatorname {sen} x]=0$.

Ora $|\operatorname {sen}(x+h)-\operatorname {sen} x|=2\left|\operatorname {sen} {\frac {h}{2}}\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right|\leq |h|$, perchè $\left|\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right|$ non può superare l'unità e $\left|\operatorname {sen} {\frac {h}{2}}\right|\leq \left|{\frac {h}{2}}\right|$.

Quindi, se $\epsilon$ è un numero positivo piccolo a piacere, in tutto l'intorno $(-\epsilon ,\epsilon )$, del punto $h=0$, ossia per $|h|<\epsilon$, si ha $|\operatorname {sen}(x+h)-\operatorname {sen} x|\epsilon$.

2° La funzione $a^{x}(a>0)$ è continua.

3° La funzione $\log _{a}x(a>0<9$ è continua.

4° La funzione $y=\tan x$ è continua per $x\not =\pm {\frac {\pi }{2}}$ poichè è quoziente delle funzioni continue $\operatorname {sen} x,\cos x$, di cui la seconda è nulla solo per $x=\pm {\frac {\pi }{2}}$ (a meno di multipli di $2\pi$).

$\gamma$) Talvolta avviene che una funzione è continua in tutti i punti di un intervallo, eccetto che in uno o più punti, in cui la funzione può anche non essere definita. Tali punti si diranno i punti singolari della funzione in tale intervallo.