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CAPITOLO VI - § 37

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Per $x=\pm {\frac {\pi }{2}},y={\frac {2}{\pi }}={\frac {2}{3,14159\cdots }}=0,63662\cdots$

Per $x=\pm {\frac {\pi }{4}},y={\frac {2{\sqrt {2}}}{3,14159\cdots }}=0,90032\cdots$

Per $x=\pm {\frac {\pi }{180}},y=0,99995\cdots$

Per $x=\pm {\frac {\pi }{60.180}},y=0,99999\cdots$

Se con $z$ indichiamo la misura in gradi dell'angolo di $x$ radianti, asrà: $z={\frac {180x}{\pi }}$; e quindi $\lim _{z=0}{\frac {\operatorname {sen} z}{z}}={\frac {\pi }{180}}\lim {\frac {\operatorname {sen} x}{x}}={\frac {\pi }{180}}={\frac {3,141519\cdots }{180}}=0,01745\cdots$¹

La misura in radianti è appunto per ciò fondamentale, perchè, se misurassimo gli angoli in gradi, dovremmo continuamente nelle corrispondenti formole di calcolo la costante ${\frac {3,14159\cdots }{180}}$ testé determinata.

La dimostrazione della nostra formola si compie facilmente.

Per $0<x<{\frac {\pi }{2}}$ è $\operatorname {sen} x<x<\tan x$ (§ 5, δ, pag. 19).

Dividendo per $\operatorname {sen} x$ (positivo) si ha:

$1<{\frac {x}{\operatorname {sen} x}}<{\frac {1}{\cos x}}$.

Poichè $\lim _{x=0}\cos x=1$, anche $\lim _{x=0}{\frac {1}{\cos x}}=1$. Poichè la funzione $y=1$ ha pure per limite $1$, il teorema precedente dimostra che

$\lim _{x=0}{\frac {x}{\operatorname {sen} x}}=1=\lim _{x=0}{\frac {\operatorname {sen} x}{x}}$.

1. Questo numero è la misura in radianti dell'angolo di un grado. Se si misurasse invece l'angolo in gradi centesimali, il valore di questo limite darebbe ${\frac {\pi }{200}}=0,01570\cdots$.