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FUNZIONI, LIMITI

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2° $L$ è infinito. Questo caso, assai meno importante, si potrebbe ricondurre al caso precedente con lo studio della funzione $-{\frac {1}{f(x)}}$. Per studiarlo direttamente si osservi che, se $k$ è un numero arbitrario, esiste un punto $x=c<a$, ove $f(c)>k$¹. In tutto l'intervallo ($c,a$) sarà dunque $f(x)\geq f(c)>k$, perchè $f(x)$ non è decrescente. Pertanto

$\lim _{x=a-}f(x)=+\infty$.

Così, p. es., l'area del poligono regolare di $n$ lati inscritto in un cerchio $C$ è una funzione crescente di $n$, che ha per limite per $n=\infty$ proppio l'area di $C$.

β) Applicheremo questo teorema allo studio di un limite fondamentale. Dalla formola del binomio si trae che, se $m$ è un intero positivo, allora:

$\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=1+{\frac {m}{1}}{\frac {1}{m}}+{\frac {m(m-1}{1.2}}{\frac {1}{m^{2}}}+\cdots +{\frac {m(m-1)(m-2)\cdots (m-[m-1])}{\lfloor {m}}}{\frac {1}{m^{m}}}=$

$1+1+{\frac {1-{\frac {1}{m}}}{\lfloor {2}}}+{\frac {\left(1-{\frac {1}{m}}\right)\left(1-{\frac {2}{m}}\right)}{\lfloor {3}}}+\cdots +{\frac {\left(1-{\frac {1}{m}}\right)\left(1-{\frac {2}{m}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{m}}\right)}{\lfloor {m}}}$

donde, osservando che i numeratori degli addendi terzo, quarto, ecc., non superano lìunità, e che i denominatori sono $\lfloor {2})2,\lfloor {3}=2.3>2.2=2^{3},\lfloor {4}>2^{3}$, ecc., si trae che per $m>1$ è:

$2<\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}<2+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.2}}+{\frac {1}{2.2.2}}+\cdots +{\frac {1}{2^{m-1}}}\right)<3$.

²

D'altra parte il $k^{esimo}$ ($2<k\leq m+1$) termine del terzo membro della penultima formola cresce al crescere della $m\left({\text{al diminuire di}}{\frac {1}{m}}\right)$; di più il numero stesso dei termini (che è $m+1$ cresce con $m$.

Quindi $\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}$ cresce al crescere di $m$; e perciò, per il precedente teorema, tende per $m=\infty$ a un limite $e>0$; e, poichè per l'ultima delle precedenti formole, è )per ogni valore dell'intero

1. Questa affermazione è sconseguenza dell'impotesi $<l=x$
2. Infatti ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.2}}+\cdots {\frac {1}{2^{m-1}}}=1-{\frac {1}{2^{m-1}}}<1$.