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CAPITOLO VI - § 38

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$m>1)$ $2>\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}<3$, sarà pure $2<e\leq 3$; donde in particolare si trae che $e$ è un numero finito positivo. Io dico che

$\lim _{m=+\infty }\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=e$,

anche se $m$ non è intero. Infatti, se $m$ è compreso tra gli interi $n,n+1$, è

$\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}\leq \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}$

E, poichè il limite del primo e del terzo membro sono rispettivamente

$\lim _{n=\infty }\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}=\lim _{n+1=\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n+1}}{1+{\frac {1}{n+1}}}}={\frac {e}{1}}=e$,

$\lim _{n=\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}=\lim _{n=\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\lim _{n=\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)=e,1=e$,

ossia sono uguali ad $e$, anche (§ 37, α, p. 121) il $\lim _{m=\infty }\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=e$.

Io dico infine che anche $\lim _{m=-\infty }\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=e$.

Infatti, posto $m=-(k+1)$, è:

$\left(1+{\frac {1}{m}}\right)m^{m}=\left(1-{\frac {1}{k+1}}\right)^{-(k+1)}=\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{-(k+1)}=\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{k+1}=\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)$.

E perciò:

$\lim _{x=-\infty }\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=\lim _{k=+\infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}\lim _{k=+\infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)=e.$. $1=e$. c.d.d.

γ) Dalla $\lim _{m=\infty }\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=e$, che vale dunque, sia $m$ positivo o negativo, razionale o irrazionale, si trae¹, supposto $a>0$,

$\lim _{m=\infty }m\log _{a}\left(1+{\frac {1}{m}}\right)=\log _{a}e$,

ossia, posto $m={\frac {1}{x}},\lim _{x=0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e$.

1. Basta ricordare che $\log _{1}x$ è funzione continua nei punti $x>0$.