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CAPITOLO VI - § 38

tato $c\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}$ ¹. Quando n diventa grandissimo (per $n=\infty$ ), questa espressione tende a $ce^{r}$ . Si suol dire che un capitale c impiegato ad interesse continuo al tasso r diventa $ce^{r}$ dopo un anno. Così, p. es., si calcola che $e^{0,05}=1,05127\cdots$ . Impiegare per un anno un capitale all'interesse continuo del $5\%$ equivale a impiegarlo all'interesse del $5,127\cdots \%$ .

Dunque rappresenta la somma ottenuta impiegando per un anno un capitale $1$ all'interesse continuo del $100\%$ . Che, se z è piccolo, ${\frac {e^{z}-1}{z}}$ sia prossimo ad $1$ , è evidente, perchè se il tasso è piccolo, interesse semplice r e continuo $e?r-1$ quasi si equivalgono, ecc.

Fig. 11.

3° Consideriamo un'iperbole equilatera $xy=1$ (fig. 11). Siano $A,B$ due punti dell'asse delle ascisse di ascisse $a,b(O<a<b)$ . Dividiamo l'intervallo $AB$ in n parti coi punti $A_{1},A_{2},\cdots A_{n-1}$ in guisa che i segmenti $OA,OA_{1},OA_{2}\cdots ,OA_{n-1},OB$ siano in progressione geometrica. Questi segmenti saranno così uguali ordinatamente ad $a,aq,aq^{2},\cdots ,aq^{n-1},aq^{n}=b$ , dove $q={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\frac {1}{n}}$ . Le ordinate dei punti corrispondenti dell'iperbole $\left(xy=1,{\text{donde}}\,y={\frac {1}{x}}\right)$ saranno ${\frac {1}{a}},{\frac {1}{aq}},\cdots ,{\frac {1}{aq^{n}}}={\frac {1}{b}}$ .

Quindi le aree dei rettangoli aventi per base i segmenti $AA_{1},A_{1}A_{2},\cdots ,A_{n-1}B$ e per altezza le ordinate dell'estremo $\left(aq-a\right){\frac {1}{a}},\left(aq^{2}-aq\right){\frac {1}{aq}},\cdots ,\left(aq^{n}-aq_{n-1}\right){\frac {1}{aq_{n-1}}}$ ,

↑ Resta perciò intuitivo il teorema dimostrato nel testo che per $r=1$ (anzi per ogni $r>0$ ), il numero \left(1+\frac{r}{n}\right)^n</math> cresce al crescere di n; infatti un impiego di capitale è tanto più redditizio, quanto maggiore è il numero n delle volte che in un anno (a ugual intervallo l'una dall'altra) si pagano gli interessi maturati.

[1] Resta perciò intuitivo il teorema dimostrato nel testo che per $r=1$ (anzi per ogni $r>0$ ), il numero \left(1+\frac{r}{n}\right)^n</math> cresce al crescere di n; infatti un impiego di capitale è tanto più redditizio, quanto maggiore è il numero n delle volte che in un anno (a ugual intervallo l'una dall'altra) si pagano gli interessi maturati.

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