Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/145

FUNZIONI, LIMITI

129

---

cioè saranno tutte uguali a $(q-1)$. La loro somma $\Sigma _{n}$ è perciò $n(q-1)$.

In modo simile si prova che la somma $\sigma _{n}$ delle aree dei rettangoli aventi per base gli stessi segmenti e per altezza l'ordinata del corrispondente estremo dentro è $n(q-1){\frac {1}{q}}$.

Si ha così, posto $v={\frac {1}{n}}$,

$\Sigma _{n}=\left({\frac {b}{a}}^{\frac {1}{n}}\right)-1$ donde $\lim _{n=\infty }\Sigma _{n}=\lim _{v=0}{\frac {\left({\frac {b}{a}}\right)^{v}-1}{v}}=\log _{e}{\frac {b}{a}}$

$\sigma _{n}={\frac {\Sigma _{n}}{q}}$                     donde $\lim _{n=x}\sigma _{n}=\log _{e}{\frac {b}{a}}\lim _{n=\infty }{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}=\log _{e}{\frac {b}{a}}$.

Il limite inferiore delle $\Sigma _{n}$ e il limite superiore delle $\sigma _{n}$ coincidono dunque, e sono uguali a $\log _{e}{\frac {b}{a}}$. Dunque la figura α racchiusa tra il segmento $AB$, le ordinate di $A,B$ e la porzione corrispondente di iperbole equilatera ha un area che vale precisamente $\log _{e}{\frac {b}{a}}$¹.

Se noi rappresentiamo la nostra figura in scala un po' grande su carta millimetrata divisa in quadretti molto piccoli, si può avere un metodo approssimato per calcolare $\log _{e}{\frac {b}{a}}$, misurando l'area $\alpha$: cioè contando quanti dei quadretti in cui è diviso il nostro foglio millimetrato sono contenuti in $\alpha$.

4° Sia $f(x)$ una funzione di $x$, che tende ad un limite finito $L$, p. es., per $x=\infty$. Come si può calcolare approssimativamente questo limite? È ben evidente che $f(x)$ si può considerare come un valore approssimato di L, e che l'approssimazione sarà generalmente tanto migliore, quanto più grande si suppone $x$; o meglio, e più precisamente, che, prendendo $x$ abbastanza grande, si potrà rendere piccolo a piacere l'errore che si commette quando si supponga $f(x)=L$.

Ma simile considerazione ha un valore scarso, se per ogni valore della $x$ non si può dare un misura del grado di ap-

1. Infatti i rettangoli considerati, le cui aree hanno per somma $\Sigma _{n}(\sigma _{n})$ formano un poligono, che contiene la figura $\alpha$ all'interno (che è interno alla figura $\alpha$) (cfr. § 7).