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FUNZIONI, LIMITI

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Infatti:

$e^{z+z'}=e^{x+x'+i(y+y')}=e^{x+x'}|\cos(y+y')+i\operatorname {sen}(y+y')|=$

$e^{x}(\cos y+i\operatorname {sen} y)=e^{x'}(\cos y'+i\operatorname {sen} y)=e^{z}e^{z'}$.

2° Sappiamo già che, se $z$ è reale, allora

$e^{z}=\lim _{m=\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)^{m}$.

Ebbene in virtù della definizione di Eulero, questa stessa formola vale anche se z è complesso.

Infatti: $\left(1+{\frac {z}{m}}\right)=\left[\left(1+{\frac {x}{m}}\right)+i{\frac {y}{m}}\right]=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$,

dove $\rho ={\begin{Bmatrix}\left(1+{\frac {z}{m}}\right)^{z}+{\frac {y^{z}}{m^{z}}}\end{Bmatrix}}^{\frac {1}{2}}.{\text{tg}}\theta ={\frac {y}{x+m}},|\theta |<{\frac {\pi }{2}}$.¹

Sarà:$\left(1+{\frac {z}{m}}\right)^{m}=\rho ^{m}{\begin{Bmatrix}\cos m\theta +i\operatorname {sen} m\theta \end{Bmatrix}}$.

Ora, posto ${\frac {1}{n}}={\frac {2x}{m}}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{m^{2}}}$, è:

$\lim _{m=\infty }\rho ^{m}=\lim _{m=\infty }{\begin{Bmatrix}\left(1+{\frac {x}{m}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}\end{Bmatrix}}^{\frac {m}{2}}=\lim _{n=\infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{\frac {m}{2n}}$.

Ossia, poichè $\lim _{m=\infty }{\frac {m}{2n}}=x$, si ha $\lim _{m=\infty }p^{m}=e^{x}$.

D'altra parte $\lim _{m=\infty }\theta =0$, perchè ${\text{''tg''}}\theta =\lim {\frac {y}{\infty +m}}=0{\text{e}}|\theta |<{\frac {\pi }{2}}$; e $\lim _{m=\infty }m\theta =\lim _{m=\infty }m{\text{tg}}\theta {\frac {\theta }{{\text{tg}}\theta }}=\lim _{m=\infty }{\frac {my}{x+m}}\lim _{\theta =0}=y.1=y$.

E quindi $\lim(\cos m\theta +i\operatorname {sen} m\theta )=\cos y+i\operatorname {sen} y$.

Perciò

$\lim _{m=\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)^{m}=e^{x}(\cos y+i\operatorname {sen} y)=e^{x+iy}=e^{2}$.          c.d.d.

Di tale definizione possiamo servirci per estendere anche a numeri negativi o complessi la teoria dei logaritmi neperiani. Sia $w=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$ un numero complesso. Io dirò che $z=x+iy$ ne è un logaritmo a base e, se

$e^{2}=e^{x}(\cos y+i\operatorname {sen} y)=w=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$

cioè se

          $e^{x}=\rho$          ,          $\cos y=\cos \theta$          ,           $\operatorname {sen} y=\operatorname {sen} \theta$

Dunque $x$ è il logaritmo aritmetico del modulo $\rho$ di $w$.

Ed $y$ o è l'algoritmo $\theta$ di $w$, o differisce da $\theta$ per un multiplo

1. Per m molto grande il segno di $\cos \theta$, cioè il segno di $1+{\frac {x}{m}}$ è positivo, anche se x<\theta</math>; e posso supporre $\theta$ compreso tra $-{\frac {\pi }{2}}{\text{e}}{\frac {\pi }{2}}$.