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CAPITOLO VI - § 39

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$2k\pi$ di $2\pi$ (k intero). Ciò che è ben naturale, appunto perchè l'anomalia di un numero complesso è defnita a meno di multipli di $2\pi$.

Nel campo dei numeri complessi ogni numero

$w=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$

ha infiniti logaritmi

$\log _{e}\rho +i\theta +2k\pi i$.

Di questi logaritmi ve ne è uno (e solo uno) reale, se esiste un intero k tale che $\theta +2k\pi =0$, ossia se θ è un multiplo di $2\pi$, cioè se si può supporre $\theta =0$, cioè se w coincide col suo modulo $\rho$, ossia se w + reale positivo.

I soli numeri reali positivi posseggono un logaritmo reale (quello di cui si occupa l'algebra elementare). Gli altri logaritmi se ne deducono aggiungendo un multiplo qualsiasi di $2\pi i$ e sono complessi.

I numeri reali negativi $w=-\rho$ hanno gli infiniti logaritmi (tutti complessi)

$\log \rho +i\pi +2\pi ki$

In particolare $-1$ ha tra i suoi logaritmi il numero $i\pi$.

Il teorema fondamentale della teoria dei logaritmi reali diventa ora: Sommando insieme un logaritmo di ciascuno dei fattori di un prodotto, si trova uno dei logaritmi del prodotto¹. Il lettore ne deduca i teoremi analoghi per i quozienti, le potenze, ecc.

Così, p. es., dalla $2\log(-1)=\log(-1)^{2}=\log 1$ non si può già dedurre che, essendo $\log 1=0$, anche $\log(-1)=0$, ma soltanto che il doppio di uno dei logaritmi di $-1$ vale uno dei logaritmi di $1$; infatti i logaritmi di $-1$ sono $(2k+1)i\pi$, il cui doppio è un multiplo di $2\pi i$, che è un logaritmo di $1$².

Dalla $e^{\pm ix}=\cos x\pm i\operatorname {sen} x$ si deduce:

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

$\operatorname {sen} x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$. (1)

Posto <math<x=i z</math> (z reale) il primo membro non ha significato; noi porremo per definizione $\cos iz,\operatorname {sen} iz$ uguali ai valori

1. Così anzi si possono trovare tutti i logaritmi del prodotto.
2. Il logaritmo $0$ del numero $1$ si trova, p. es., sommando insieme $i\pi {\text{e}}-i\pi$, che sono entrambi logaritmi di $-1$, e non già facendo il doppio di uno dei logaritmi di $-1$.