che si ottengono dai secondi membri di (1) per . Cioè porremo:
.
Perciò e sono reali per reale; noi li chiameremo rispettivamente il coseno iperbolico di , e il seno iperbolico di . E le indicheremo con cosh e senh (più brevemente ch z e sh z). È dunque:
ch
sh
Si verifica tosto che ; posto cioè , il punto descrive al variare di z una iperbole (donde il nome di funzioni iperboliche), mentre invece le equazioni definsicono il cerchio (donde il nome di funzioni circolari).
Si prova facilmente che , che , che , che . Adottando le (1) per definiz. di per ogni valore della si trova ancora che
e che
.
Anche se sono numeri complessi continuano a valere le formole fondamentali delle goniometria
;
.
Posto per z reale (tangente uperbolica di z) è .
Per ogni z reale si può perciò trovare un angolo del primo o del quarto quadrante (che sarà funzione di z) tale che: