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FUNZIONI, LIMITI 133

che si ottengono dai secondi membri di (1) per . Cioè porremo:

.

Perciò e sono reali per reale; noi li chiameremo rispettivamente il coseno iperbolico di , e il seno iperbolico di . E le indicheremo con cosh e senh (più brevemente ch z e sh z). È dunque:

ch

sh

Si verifica tosto che ; posto cioè , il punto descrive al variare di z una iperbole (donde il nome di funzioni iperboliche), mentre invece le equazioni definsicono il cerchio (donde il nome di funzioni circolari).

Si prova facilmente che , che , che , che . Adottando le (1) per definiz. di per ogni valore della si trova ancora che

e che

.


Anche se sono numeri complessi continuano a valere le formole fondamentali delle goniometria

; .


Posto per z reale (tangente uperbolica di z) è .

Per ogni z reale si può perciò trovare un angolo del primo o del quarto quadrante (che sarà funzione di z) tale che:

; ; .