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FUNZIONI, LIMITI

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curva continua $y=f(x)$, la distanza y dall'asse x non possa passare da M a m senza riceve tutti i valori intermedi. Ma, appena si ricodi che esistono curve continue $y=f(x)$ che in (a, b) fanno infinite oscillazioni, e non sono quindi disegnabili, si vedrà quanto sia insufficiente per nostri studi una intuizione, che assume a punto di partenza i diagrammi e le curve continue disegnabili.

ecco qui gli enunciati dei teoremi in discorso:

Sia y una funzione continua f(x) nell'intervallo finito (a, b), estremi inclusi. (Sia, p. es. a<b). Io dico che:

1° Il limite superiore M dei valori assunti da f(x) nell'intervallo (a, b) è un massimo. Cioè esiste nell'intervallo (a, b) almeno un punto ove la funzione riceve il massimo valore M, ossia un valore M non minore dei valori assunti negli altri punti dello stesso intervallo.

2° Il limite inferiore m dei valori assunti da f(x) in (a, b) è un minimo; cioè esiste nell'intervallo (a, b) almeno un punto, ove f(x) riceve il minimo valore m, ossia un valore m non maggiore di quello assunto negli altri punti dello stesso intervallo (teoremi di Weierstrass).

3° Se λ è un numero intermedio tra m ed M (m<λ<M), esiste almeno un punto di (a, b), in cui f(x) assume il valore λ¹.

La differenza M — m si dice l'oscillazione D di f(x) in (a, b). Essa p generalmente positiva, ed è nulla soltanto se $M=m$, ossia se il più grande ed il più piccolo valore di $f(x)$ coincidono, ossia se $f(x)$ è costante nell'intervallo (a, b).

Ricordiamo anche il seguente importante teorema di Heine, a cui non ricorreremo mai in questo libro (e che dimostreremo anche con altri e più semplici metodi in casi particolari).

4° Dato un numero (positivo) ε si può dividere l'intervallo (a, b) in un numero finito di intervalli parziali j, in ciascuno dei quali l'oscillazione di f(x) è uguale o minore di ε.

Dimostriamo ora i primi tre dei precedenti teoremi. E per brevità indichiamo, se $\alpha ,\beta$ sono due punti dell'intervallo (a, b) con $l(\alpha ,\beta )$ e con $L(\alpha ,\beta )$ i limiti inferiore e superiore dei valori asunti da $f(x)$ nell'intervallo $(\alpha ,\beta )$. È $M=L(a,b)$ ed è $m=l(\alpha ,\beta )$. Inostri teoremi saranno provati, quando sia dimostrato che, scelto comunque un numero $\lambda$ tale che $m\leq \lambda \leq M$ (non escluso $\lambda =m,\lambda =M)$ esiste un punto $c$ soddisfacente alla $f(c)=\lambda$. Se già $f(a)=\lambda$, il teorema è provato. Sia dunque $f(a)<\lambda$ (in modo analogo si studia il caso di $f(a)>\lambda$). Sia $c$ il limite superiore dei punti $x$ dell'intervallo (a, b) tali che $L(a,x)\lambda$. Sarà $a<c\leq b$. Preso un numero τ arbitrario positivo, esistono (poichè $f(x)$ è continua)

1. Questi teoremi ci dicono che i valori assunti da una funzione $y=f(x)$ continua in un intervallo finito (a, b) (estremi inclusi), riempiono tutto un segmento finito (m, M), compresi gli estremi.