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FUNZIONI, LIMITI

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I teoremi di Weirstrass si estendono alle funzioni discontinue col seguente enunciato, che mi accontenterò di citare.

Se $f(x)$ è una funzione definita nell'intervallo (a, b), estremi inclusi, esiste almeno un punto di questo intervallo tale che in ogni suo intorno la funzione assuma valori, il cui limite superiore coincida col limite superiore dei valori che $f(x)$ ha in (a, b).

Osserv. Se $f(x)$ è una funzione qualsiasi definita in un intorno del punto a, potremo considerare il massimo limite e il minimo limite (§ 32, osserv. critiva a pag. 107) per $w=a+$ e quelli per $x=a-$. Tutti questi limiti coincidono con $f(a)$ se $f(x)$ è continua in a. Si sono studiate anche le funzioni (semicontinue) per cui $f(a)$ coincide non con tutti, ma soltanto con alcuni dei limiti precedenti; e si è in particolare studiato per esse un teorema analogo al teorema di Weirstrass.

§ 41. — Funzioni di più variabili.

Si dice che z è una funzione in n variabili $x_{1},x_{2},\cdots x_{n}$, se per qualche sistema di valori dati alle $x_{1},x_{2},\cdots x_{n}$, la z ha un valore determinato.

L'insieme di questi sistemi di valori si chiama il campo di esistenza della funzione z.

Si scrive in tal caso $z=f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$; in luogo della lettera f si può scrivere un'altra lettera $F,\varphi ,\mathrm {X} ,$ ecc.

Così, p. es., dalla fisica sappiamo che il volume di z di una certa massa di gas perfetto è funzione della temperatura $x_{1}$ e della pressione $x_{2}$. Il campo G dei valori che possiamo dare alle $x_{1},x_{2}$ è formato in questo caso dai valori positivi delle $x_{1},x_{2}$ (se adottiamo la scala termometrica assoluta) e non superiori a certi limiti dipendenti dai mezzi sperimentali.

Se $n=2$, si suole indicare la $x_{1}$ con $x$, la $x_{2}$ con $y$; e in questo caso si adottanto le $x,y$ come coordinate cartesiane in un piano $\pi$. Ogni sistema di valori per le $x_{1}=x,x_{2}=y$ individua un punto $\pi$, e viceversa. Il caso più importante è quello in cui i punti di $\pi$, a cui corrispondono valori delle $x,y$, per cui esiste la z, riempia tutta un'area connessa di $\pi$ (rettangolare o circolare, ecc.)¹. Se noi consideriamo $x,y,z$ come coordinate cartesiane ortogonali nello spazio, la $z=f(x,y)$ è in tal caso l'equazione di una superficie, che si può considerare come l'immagine geometrica della funzione $f$.

Nel caso di $n>2$ cessa la possibilità di una simile rappresentazione geometrica (se non si vuole adottare il linguaggio iperspaziale).

1. Non insistiamo di più (cfr. § 7) sul significato della parola «area connessa» (area di un sol pezzo).