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CAPITOLO VII - § 42

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γ) Se la serie $S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ è convergente, e se $b_{1},b_{2}\cdots ,b_{m}$ sono costanti qualasiasi, la serie

(1)      $b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$

(essendo $m=$intero positivo finito) converge ed ha per somma

$S'=S+b_{1}+b_{2}+\cdots b_{m}$.

Se S diverge od è indeterminata, altrettanto avviene di (1), o viceversa.

Per definizione di serie la prima parte del nostro teorema equivale alla

$S+b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}=\lim _{n=\infty }(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})$.

Ma questa formola è evidente, perchè, essendo per definizione $S=\lim _{n=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})$ si ha:

$\lim _{n=\infty }(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}+a_{1}+a_{3}+\cdots a_{n})=$

$=b_{1}+b_{2}+\cdots b_{m}+\lim _{n=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})=$

$=b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}+S$.

La seconda parte del nostro teorema se ne deduce pure immediatamente.

δ) Se le serie $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots ,v_{1}+v_{2}+v_{3}\cdots$ convergono ed hanno per somma U e V, anche la serie

$(u_{1}+v_{1})+(u_{2}+v_{2})+(n_{3}+v_{3})+\cdots$

converge ed ha per somma $U+V$

Infatti:

$(u_{1}+v_{1})+(u_{2}+v_{2})+\cdots =$

$\lim _{n=\infty }[(u_{1}+v_{1})+(u_{2}+v_{2})+\cdots +(u_{n}+v_{n})]=$

$=\lim _{n=\infty }[(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n})+(v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n})]=$

$=\lim _{n=\infty }(u_{1}+u_{3}+\cdots +u_{n})+\lim _{n=\infty }(v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n})=$

$=U+V$.

ε) Se la serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ converge, allora $\lim _{n=\infty }a_{n}=0$.

Infatti la somma S della serie si può definire con l'una o l'altra delle $S=\lim _{n=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n});S=\lim _{n=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1})$.

Sottraendo membro a membro si deduce appunto $0=\lim _{n=\infty }a_{n}$.

La $\lim _{n=\infty }a_{n}=0$ è dunque una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza della nostra serie.