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SERIE 143

ζ) Se le sono reali e positive, se , se la serie converge.

È facile riconoscere la somma dei primi 2m termini aumenta con m, che la somma dei primi diminuisce con m, che le prime somme sono minori delle seconde, che la classe formata dalle prime è contigua alla classe formata dalle seconde, e che il numero di separazione delle due classi è la somma delle serie.


§43. — Serie a termini positivi.

α) È specialmente importante lo studio delle serie, i cui termini sono reali ed hanno tutti lo stesso segno, sono cioè tutti positivi o tutti negativi.

A noi basterà studiare, p. es., le serie i cui termini sono tutti positivi, perchè le proprietà delle serie, i cui termini sono tutti negativi, se ne dedurranno immediatamente. È evidente infatti che la serie e la serie , che si ottiene cambiando i segni di tutti i termini della precedente, sono contemporaneamente convergenti, o divergenti, od indeterminate. Ed anzi, se la prima converge ed ha per somma S, la seconda converge ed ha per somma .

Lo studio dunque delle serie di termini tutti negativi è equivalente allo studio della serie con tutti i termini positivi.

Se i termini della serie sono tutti positivi, la somma dei primi termini è una funzione crescente di , e quindi (pag. 124, § 38) tende ad un limite per .

Una serie a termini positivi non è mai indeterminata.


β) Se

(1)                                        

(2)                                        

sono due serie a termini positivi, e se per tutti i valori di n si ha

(3)                                                  ,

allora, se la serie (2) converge, anche la serie (1) converge; e la somma s di (1) non può superare la somma di (2).

E quindi, se la serie (1) diverge, diverge anche la (2).

Infatti, se sono rispettivamente la somma dei primi n termini della (1) e della (2), allora dalla (3) segue

(4)                                                  .

Se la (2) converge, allora è finito; dalla (4) segue che in tal caso non può tendere all'infinito, ossia che la (1)