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SERIE 149

§ 45. — Serie a termini negativi e positivi.
Serie a termini complessi.


Cominciamo dalla considerazione di una serie a termini reali

[1]                              

Sul segno dei termini non facciamo alcuna ipotesi. Siano quei termini di questa serie che sono positivi, quei termini della nostra serie che sono negativi. Tra i primi n termini della [1] ce ne saranno, per es., m positivi, p negativi: . E sarà quindi

.

Supponiamo che sieno convergenti le due serie

[2]                              

[3]                              1

e ne siano le somme. Allora

.


Quindi: la [1] è convergente ed ha per somma .

Con le notazioni precedenti si ha evidentemente


donde, come sopra, si deduce che la serieù [4]                              

è convergente, ed ha per somma .

Supponiamo ora viceversa che la [4] sia convergente, ed abbia quindi una somma finita .

Siccome ognuna delle quantità è un termine di [4], per il lemma del precedente paragrafo, la [2] è convergente. In modo analogo si dimostra che la [3] converge, e che, quindi, per quanto si è visto, converge anche la [1].

Dunque:

Una serie [1] converge, quando converge la serie [4] dedotta dalla [1], sostituendo a ogni termine il suo valore assoluto.

Si avverte che il teorema reciproco non è vero.

  1. I risultati seguenti valgono anche se di termini positivi, o di termini negativi nella [1] ve n'è solo un numero finito, se cioè una delle serie [2] [3] si riduce a una somma. Questi risultati valgono anche se la [1] ha dei termini nulli.