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CAPITOLO VII — § 45

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così, p. es., se ne trae che [1] converge se il $\lim _{n=\infty }\left|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right|$ esiste, ed è minore di 1.

Una serie [1], tale che converga la serie [4] formata coi valori assoluti dei suoi termini, si dice assolutamente convergente.

Teorema Una serie [1] assolutamente convergente rimane tale, e non muta di valore, comunque si cambi l'ordine dei suoi termini.

Infatti il cambiare l'ordine dei termini della [1] equivale a murate al più l'ordine dei termini della [2], [3]. ma come sappiamo, comunque si muti quest'ordine, la serie [2], [3]. ma come sappiamo, comunque si muti quest'ordine, le serie [2], [3] a termini positivi restano convergenti, e le loro somme continuano ad essere rispettivamente uguali a $S,s$. per le considerazioni precedenti la [1] resterà ancora convergente, e la sua somma sarà ancora $S-s$.

Si può invece dimostrare che in una serie convergente, ma non assolutamente convergente, si può mutare l'ordine dei termini in guisa che la serie diventi o divergente, o indeterminata, o abbia quella somma che più ci piace. Naturalmente è necessario cambiar l'ordine di un numero infinito di termini per ottenere una tale variazione.

Questi teoremi si estendono subito a una serie a termini complessi

(1)                              $w_{1}+w_{2}+w_{3}+\cdots$

                              $(w_{n}=u_{n}+iv_{n})$

col teorema:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè siano assolutamente convergenti tanto le serie $u_{1}+u_{2}+\cdots$ formata con le parti reali dei termini di (1) quanto le serie $v_{1}+v_{2}+\cdots$ formata coi coefficienti di i nei termini di (1) è che sia convergente la serie $|w_{1}|+|w_{2}|+\cdots$ dei moduli dei termini di (1). (Ricordo che $|w_{n}|={\sqrt {u_{n}^{2}+v_{n}^{2}}}$).

Infatti $|w_{n}|\leq |u_{n}|+|v_{n}|$. Se le serie delle $|u_{n}|$ e delle $|v_{n}|$ convergono, converge anche òa serie somma, ed a fortiori converge la serie delle $w_{n}$. Viceversa, se converge quest'ultima serie, convergono le serie delle $|u_{n}|$ e quella delle $|v_{n}|$, perchè $|u_{n}|\leq |w_{n}|$     ,     $|v_{n}|\leq |w_{n}|$.

Tali serie si dicono ancora assolutamente convergenti. Anche per una serie $w_{1}+w_{2}+\cdots$ a termini complessi vale il teorema che, se $\lim _{n=x}\left|{\frac {w_{n+1}}{w_{n}}}\right|<1$, la serie è assolutamente convergente, ed ha una somma indipendente dall'ordine dei suoi termini.