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DERIVATE DIFFERENZIALI

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$2ax$. (Da ciò si deduce il risultato del penultimo paragrafo ponendo $a={\frac {1}{2}}g=4,905$).

La retta tangente della parabola $y=ax^{2}$ nel punto di ascissa $x$ ha per coefficiente angolare $2ax$.

β) Un teorema di importanza specialmente teorica è il seguente:

Se una funzione f(x) ha un punto x₀ derivata (finita), essa è continua in tale punto.

Infatti dalla

$\lim _{h=0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=f'(x_{0})$

si trae

$\lim _{h=0}[f(x_{0}+h)-f(x_{0})]=\lim _{h=0}h{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=$

$=\lim _{h=0}h\lim :{h=0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=0\cdot f'(x_{0})=0$

Ossia

                                        $\lim _{h=0}f(x_{0}+h)=f(x_{0})$.                              c.d.d.

Il teorema reciproco non è vero; esistono funzioni continue senza derivata, per quanto tutte le funzioni, che può incontrare il tecnico nei suoi studi, sieno derivabili nei punti non singolari¹.

γ) Chiuderemo questo paragrafo con alcune osservazioni sulla equazione della retta tangente ad una curva. Si tratta di osservazioni evidenti, sebbene talvolta io mi sia accorto della difficoltà incontrata da molti studenti a scrivere tale equazione in modo corretto.

Il punto di ascissa $x_{0}$ sulla curva $y=f(x)$ ha per ordinata $y_{0}f(x_{0})$. [Con $f(x_{0})$ si indica, come è noto, il valore $f(x)$ quando alla variabile $x$ si da il valore $x_{0}$]. Il coefficiente angolare della tangente corrispondente è $f'(x_{0})$². Ora, affinchè la retta passante per il punto (x_0, y_0)</math> e un altro punto $<8x,y$ abbia il coefficiente angolare $f'(x_{)}$ è condizione necessaria e sufficiente che $y-y_{=}(x-x_{)}f'(x_{0})$. Questa è dunque l'equazione della retta tangente alla curva $y=f(x)$ in quello dei suoi punti, che ha per ascissa $x_{0}$. Si noti:

1° La $y$ che figura in questa equazione è l'ordinata di un punto mobile sulla tangente ed è perciò completamente distinta dalla $y=f(x)$, ordinata di un punto mobile sulla data curva.

2° Siccome il punto $<8x_{0},y_{0})$ appartiene per ipotesi alla nostra curva, la $y_{0}$ è precisamente il valore assunto dalla $f(x)$, quando alla variabile $x$ si dà il valore $x_{0}$. Così pure $f'(x)$ è il valore di $f'(x)$ nel punto $x=x_{0}$.

Così, p. es., l'equazione della tangente alla curva $y=ax^{2}$ nel punto di ascissa zmath>x_0</math> è $(y-y_{0})=2ax_{0}(x-x_{0})$, ossia (poichè $y_{0}=ax_{0}^{2}$) è $y+y_{0}=2ax_{0}x$.

1. È facile riconoscere che una funzione può essere continua in un punto $y=a$, senza essere derivabile in tale punto. Basti pensare alle funzioni $f(x)$ tali che la curca $y=f(x)$ abbia per $x=a$ un punto angolare. Ma sono stati dati esempi di funzioni continue in tutto un intervallo, sprovviste di derivata in ogni punto di tale intervallo.
2. E non già $f(x)$. Si osservi del resto che la $y-y_{0}=(x-x_{0})f'(x)$ non è generalmente l'equazione di una retta, e tanto meno della retta tangente, perchè non è neanche lineare (di primo grado) nella $x,y$.