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capitolo i — § 1

(dove con $n$ , $m$ sono indicati interi positivi), se $N$ è la somma di $n$ segmentini uguali $\delta$ , ciascuno dei quali è la $m^{esima}$ parte di $M$ (cioè $M$ è la somma di $m$ segmenti uguali a $\delta$ ). E la definizione di uguaglianza di due numeri fratti (si pone $\textstyle {\frac {n}{m}}=\textstyle {\frac {p}{q}}$ se $nq=mp$ ) è scelta appunto in modo tale che, se un segmento $N$ ha per misura tanto la frazione $m/n$ , quanto l’altra $\textstyle {\frac {p}{q}}$ , allora le due frazioni siano uguali ¹.

A tutti è nota poi quale importanza abbia (specialmente per i calcoli numerici) la trasformazione di una frazione in un numero decimale. Quando noi scrivamo, per esempio

{\frac {1}{5}}=0,2

;

{\frac {1}{50}}=0,02

;

{\frac {6}{5}}=1,2

noi intendiamo soltanto di scrivere in altro modo le uguaglianze

{\frac {1}{5}}={\frac {2}{10}}

;

{\frac {1}{50}}={\frac {2}{100}}

;

{\frac {6}{5}}={\frac {12}{10}}

.

In altre parole noi abbiamo trasformato le frazioni $\textstyle {\frac {1}{5}}$ , $\textstyle {\frac {1}{50}}$ , $\textstyle {\frac {6}{5}}$ in altre, il cui denominatore è il numero $10$ , od una delle sue potenze $10^{2}=100$ , $10^{3}=1000$ , eccetera.

corpi solidi, eccetera). Se noi scegliamo, per fissar le idee, il problema della misura delle lunghezze dei segmenti come problema iniziale, dobbiamo in sostanza definire dei simboli (numeri) e definire le proprietà di questi simboli in guisa che a segmenti di ugual lunghezza corrisponda lo stesso numero, che a ogni numero corrisponda un segmento, che a segmento di lunghezza maggiore corrisponda numero maggiore, che a un segmento $\alpha$ somma di due segmenti $\beta$ , $\gamma$ corrisponda una misura somma delle misure delle lunghezze di $\beta$ e $\gamma$ , eccetera. Il problema analogo per ogni altra classe di grandezze si propone di definire una corrispondenza, dotata di proprietà analoghe, tra le grandezze considerate, e i numeri precedentemente definiti. È noto che tale problema della misura ammette (se risolubile) infinite soluzioni: una delle quali si definisce fissando la grandezza unitaria (unità di misura), cioè la grandezza a cui si farà corrispondere il numero 1.

Per certe grandezze orientate (debiti e crediti, altezza sopra o sotto il livello del mare, eccetera) si pone pure un analogo problema della misura: il quale richiede però la considerazione dei numeri negativi.

↑ Si dice poi che $\textstyle {\frac {n}{m}}<{\frac {p}{q}}$ e $\textstyle {\frac {p}{q}}>\textstyle {\frac {n}{m}}$ se $nq<mp$ . In tal caso il segmento che ha $\textstyle {\frac {n}{m}}$ per misura è minore del segmento, la cui misura vale $\textstyle {\frac {p}{q}}$ .

[nota2-2] Si dice poi che $\textstyle {\frac {n}{m}}<{\frac {p}{q}}$ e $\textstyle {\frac {p}{q}}>\textstyle {\frac {n}{m}}$ se $nq<mp$ . In tal caso il segmento che ha $\textstyle {\frac {n}{m}}$ per misura è minore del segmento, la cui misura vale $\textstyle {\frac {p}{q}}$ .

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