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| DERIVATE, DIFFERENZIALI | 167 |
2° Sia dato un solido . Esista e sia il volume di quella porzione di che è racchiuisa tra un certo piano fisso , e un piano parallelo posto alla distanza dal precedente. L'area della sezione fatta da in esista, e sia una funzione continua della . Dimostreremo che .
Oss. Ammettiamo il teorema che il volume dello strato , che è compreso tra due piani e qualsiasi paralleli a sia compreso tra i prodotti della distanza di questi due piani per i valori massimo e minimo dell'area d'una sezione fatta in da un piano parallelo a od a . Questo teorema, che troveremo più tardi dimostrato in generale, è evidente se, p. es., è una sfera, o un ellissoide avente per piano di due assi, o una piramide avente la base parallela a tale che il piede dell'altezza sia interno alla base, ecc. A tutti questi solidi il nostro ragionamento è quindi applicabile senza necessità di ammettere alcun teorema non dimostrato.
Ris. Se sono due piani paralleli a , il volume dello strato limitato in da e da è, per l'osservazione precedente, compreso tra ed , se con e con indichiamo rispettivamente il massimo ed il minimo valore di nell'intervallo .
E col metodo tante volte usato si deduce
.
L'allievo controlli questo risultato nei casi su citati che sia una sfera, od una piramide, calcolando effettivamente ed .
Varie e molteplici sono le applicazioni della definizione di derivata di una funzione e in moltissimi problemi la considerazione di si presenta spontanea. Perciò assai importanti sono i problemi fondamentali del calcolo:
1° Trovare la derivata di una funzione data.
2° Trovare le funzioni, che hanno una derivata assegnata.
Del primo si occupa il calcolo differenziale, del secondo il calcolo integrale.
