Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/185

derivate, differenziali

169

cosicchè in ogni caso

$Z'=P'(z)=na_{0}z^{n-1}+(n-1)a_{1}z^{n-1}+\cdots +2a_{n-2}z+a_{n-1}$

Salvo avvertenza contraria in quanto segue ci rifaremo esclusivamente alle variabili reali.

§ 51. — Derivate fondamentali.

α) Sia $y={\text{cost.}}$ (p. es. $y=3$, oppure $y=5$). vale a dire la $y$ non varii al variare della $x$. Gli incrementi $\Delta y$ della $y$ saranno sempre nulli; è quindi constantemente ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=0$, e perciò anche $y'=\lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=0$.

Ciò che del resto è geometricamente intuitivo, poichè $y={\text{cost.}}$ è una retta parallela all'asse delle $x$.

Le sue tangenti coincidono quindi con essa, e perciò hanno coefficiente angolare $y'$ nullo.

β) Si trovi la derivata di $y={\text{sen}}x$.

Il rapporto incrementale è ${\frac {{\text{sen}}(x+h)-{\text{sen}}x}{h}}$; e perciò $y'=\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}(x+h)-{\text{sen}}x}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}x\cos h+{\text{sen}}h\cos x-{\text{sen}}x}{h}}=$

${\text{sen}}x\lim _{h=0}{\frac {\cos h-1}{h}}+\cos x\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}=$

$=0\cdot {\text{sen}}x+1\cdot \cos x=\cos x$.

Si ricordi che al § 37, p. 122-123, si è dimostrato $\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}=1,\lim _{=0}{\frac {1-\cos h}{h}}=0$.

γ) Si trovi la derivata di $y=\cos x$.

In modo analogo al precedente si trova:

$y'=\lim _{h=0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {\cos x\cos h-{\text{sen}}x{\text{sen}}h-\cos x}{h}}=$

$=\cos x\lim _{h=0}{\frac {\cos h-1}{h}}-{\text{sen}}x\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}=-{\text{sen}}x$.