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derivate, differenziali

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θ) Derivare $y={\text{tg}}x$

Ris. Il rapporto incrementale è

${\frac {{\text{tg}}(x+h)-{\text{tg}}x}{h}}={\frac {1}{\cos x\cos(x+h)}}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}$.

Si trova $y'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$.

Derivare $x={\text{cotg}}x$.

Si trova $y'=-{\frac {1}{{\text{sen}}^{2}x}}$.

La derivata di $y=shx$ vale $chx$; e quella di $y=chx$ vale $shx$ (e non $-shx$) (cfr. pag. 133).

§ 52. — Infinitesimi e infiniti.

α) Se $\alpha$ ed $h$ sono numeri piccoli, allora secondo il rapporto ${\frac {\alpha }{h}}$:

1° è piccolissimo;

2° è estremamente grande;

3° non è nè piccolissimo, nè grandissmo;

noi diciamo rispettivamente che:

1° α è di un ordine di piccolezza maggiore di quello di $h$;

2° α è di un ordine di piccolezza minore di quello di $h$;

3° α ed $h$ sono di uno stesso ordine di piccolezza.

Così, p. es., per chi si occupa di lunghezze di qualche chilometro, tanto un millimetro, che la lunghezza d'onda della luce rossa, sono lunghezze piccole. La seconda è però molto più piccola della prima, e perciò diciamo che essa è di un ordine di piccolezza maggiore.

Così, p. es., quando diciamo che le lunghezze d'onda di un raggio verde e di un raggio azzurro sono dello stesso ordine di piccolezza, vogliamo dire che il loro rapporto non è nè un numero enorme, nè un numero piccolissimo.

Tutte queste locuzioni hanno naturalmente un significato poco preciso, perchè poco preciso è il significato delle parole; “piccolissimo” , “grandissimo”. Noi, però, partendo dalle idee intuitive contenute in dette frase, poniamo le seguenti definizioni precise.