Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/188

Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta.

172

CAPITOLO VIII — § 52

Sia $h$ un infinitesimo, cioè una variabile che tenda a zero, e supponiamo che non assuma il valore zero¹.

Sia poi $\beta$ un altro infinitesimo che tenda a zero con $h$ . Consideriamo il rapporto ${\frac {\beta }{h}}$ e poi il

$\lim _{h=0}{\frac {\beta }{h}}$ ,

se $h$ è la variabile indipendente, e $\beta$ funzione di $h$ .

Se invece $x$ fosse la variabile indipendente, e $\beta$ ed $\alpha =x$ fossero funzioni della $x$ infinitesime per $x=b$ , alla considerazione di questo limite si sostituirebbe quella del

$\lim _{x=b}{\frac {\beta }{h}}=\lim _{x=b}{\frac {\beta }{\alpha }}$ .

Secondo che questo limite

non esiste;
esiste ed è una quantità finita e diversa da zero;
esiste ed è zero;
esiste ed è infinito;

noi diremo rispettivamente che:

i due infinitesimi β e h non sono paragonabili;
β ed h sono infinitesimi dello stesso ordine;
β è un infinitesimo d'ordine superiore ad h;
β è un infinitesimo d'ordine inferiore ad h.

Esempi

h e $\beta =h{\text{sen}}{\frac {1}{h}}$ $\beta =h{\text{sen}}{\frac {1}{h}}$ sono (per $h=0$ $h=0$ ) infinitesimi non paragonabili, perchè $\lim _{h=0}{\frac {\beta }{h}}=\lim _{h=0}{\text{sen}}{\frac {1}{h}}$ $\lim _{h=0}{\frac {\beta }{h}}=\lim _{h=0}{\text{sen}}{\frac {1}{h}}$ non esiste, poichè, mentre h tende a zero, ${\text{sen}}{\frac {1}{h}}$ ${\text{sen}}{\frac {1}{h}}$ oscilla sempre da $+1$ $+1$ a $-1$ $-1$ e da $-1$ $-1$ a $+1$ $+1$ .
↑ Può darsi che $h$ sia la variabile indipendente, od anche che $h$ sia funzione di un'altra variabile $x$ , che tenda a zero, p. es., per $x=b$ . In questo secondo caso non potrebbe però essere, p. es., $h=(x-b){\text{sen}}{\frac {1}{x-b}}$ , perchè $h$ assumerebbe infinite volte il valore zero, mentre $x$ si avvicina a $b$ (cioè in ogni intorno del punto $x=b$ ).

1