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DERIVATE, DIFFERENZIALI

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2° h e $\beta ={\text{Sen}}h$ sono per $h=0$ infinitesimi dello stesso ordine, perchè $\lim _{h=0}{\frac {|beta}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}=1$;

3° Se $\beta =h^{2}$, è $lim_{h=0}{\frac {\beta }{h}}=\lim _{h=0}h=0$; cosicchè (per $h=0$) β è un infinitesimo d'ordine superiore ad h;

4° Se $\beta ={\sqrt {h}},\beta <math>per<math>h=+0$ infinitesimo d'ordine inferiore ad h, perchè $\lim _{h=+0}{\frac {\beta }{h}}=\lim _{h=0}{\frac {\sqrt {h}}{h}}=\lim _{h=+0}{\frac {1}{\sqrt {h}}}=\infty$.

Evidentemente se α è un infinitesimo d'ordine superiore a β, e β è di ordine superiore a γ, allora α è di ordine superiore a γ, perchè

$\lim {\frac {\alpha }{\gamma }}=\lim {\frac {\alpha }{\beta }}\lim {\frac {\beta }{\gamma }}=0$.

Se esiste un numero positivo k tale che il rapporto ${\frac {a}{h^{k}}}$ abbia un limite finito e diverso da zero, allora α è infinitesimo dello stesso ordine di $h^{k}$. Si suol dire allora che α è un infinitesimo di ordine k (rispetto ad h). Per esempio, ${\text{sen}}h$ è un infinitesimo di 1° ordine per l'es. 2°; $h^{k}(k>0)$ è un infinitesimo i ordine k; $1-\cos h$ è in infinitesimo di 2° ordine, perchè:

$\lim _{h=0}{\frac {1-\cos h}{h^{2}}}=\lim _{h=0}{\frac {2{\text{sen}}^{2}{\frac {h}{2}}}{h^{2}}}={\frac {1}{2}}\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}^{2}{\frac {h}{2}}}{\left({\frac {h}{2}}\right)}}=$

$={\frac {1}{2}}\lim _{h=0}{\begin{Bmatrix}{\frac {{\text{sen}}{\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\end{Bmatrix}}^{2}={\frac {1}{2}}{\begin{Bmatrix}\lim _{h=0}{\frac {{\text{Sen}}{\frac {h}{2}}}{\frac {1}{2}}}\end{Bmatrix}}^{2}={\frac {1}{2}}\cdot 1={\frac {1}{2}}$.

Quest'ultima definizione non è contraddittoria con le precedenti.

β) Considerazioni affatto simili valgono per gli infiniti, ossia per le quantità che tendono a $\infty$.

Se α, β sono quantità che tendono contemporaneamente a $\infty$, si dirà che:

1. α e β non sono paragonabili;

1. α e β sono infiniti dello stesso ordine;