Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/194

178

capitolo viii — §54-55

per il tempo $dx$ impiegato a percorrerlo; cosicchè ${\frac {df}{dx}}=F(x)$, ossia la velocità $F(x)$ vale la derivata di $f(x)$.

A chi volesse considerare questo procedimento come un ragionamento vero e proprio, si obietterebbe che due sono gli errori commessi:

$\alpha )$ quello di considerare $F(x)$ costante nell'intervallo $(x,x+dx)$;

$\beta )$ quello di porre $f(x+dx)-f(x)=df$ anzichè

$f(x+dx)-f(x)=\Delta f$;

ossia il confondere il differenziale $df$ con l'incremento $\Delta f$.

Il ragionamento rigoroso fatto al § 47 dimostra che questi due errori si compensano, almeno nel caso che $F(x)$ sa funzione continua. Si noti che considerare $F(x)$ come costante, o supporre $\Delta f=df$ equivale a scambiare la curva $y=f(x)$ con la sua tangente nel punto $x$; cosicchè in questo precede sia è scambiata due volte la curva con la sua tangente: ciò che rende intuitivo il perchè i due errori si siano compensati.

Es. Sia $A(x)$ l'area del rettanglo racchiuso dalla curva

$y=f(x)[f(x)\geq =]$.

dell'ordinata di ascissa $a$, dall'ordinata variabile di ascissa $x$ e dall'asse delle $x$.

Si voglia trovare $A'(x)={\frac {dA}{dx}}$.

Nell'intervallo infinitesimo $(x,x+dx)$ la $f(x)$ si può considerare come costante; cosiccè l'incremento

$dA=A(x+dx)-A(x)$,

che riceve l'area $A$ nel passare dall'ordinata di ascissa $x$ all'rdinata di ascissa $x+dx$,si può considerare come un rettangolo di base $dx$ ed altezza $f(x)$.È quindi

$dA=f(x)dx,A'(x)={\frac {dA}{dx}}=f(x)$.

Valgono anche per questo esempio osservazioni analoghe a quelle fatte per il precedente.

§ 55. — Derivazione di una somma.

$\alpha )$ La funzione $f(x)$ sia uguale alla somma

$\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(x)+\cdots +\varphi _{n}(x)$

delle $n$ funzioni $\varphi _{1}$ che supponiamo derivabili.