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capitolo viii — § 57-58

Ora, per il teorema sulla derivazione del prodotto di due funzioni se $f(x)$ e $\psi (x)$ sono due funzioni continue aventi derivata finita, se $\psi (x)\not =0$, e si pone $y={\frac {f(x)}{\psi (x)}}=f(x){\frac {1}{\psi (x)}}$, si ha:

$y'=f'(x){\frac {1}{\psi (x)}}-f(x){\frac {\psi '(x)}{[\psi (x)]^{2}}}$,

ossia

$y'={\frac {f'(x)\psi (x)-f(x)\psi '(x)}{[\psi (x)]^{2}}}$;

cioè si ha il

Teorema. La derivata del quoziente ${\frac {f(x)}{\psi (x)}}$ di due funzioni continue $(\psi (x)\not =0$) che hanno derivata finita è una frazione il cui denominatore è il quadrato della funzione denominatore $\psi (x)$, e il cui numeratore si ottiene sottraendo dal prodotto della derivata $f'(x)$ del numeratore $f(x)$ per il denominare $\psi (x)$ il prodotto della derivata $\psi '(x)$ del denominatore per il numeratore $f(x)$.

Questo teorema vale anche per le funzioni complesse.

Esempi.

1° La derivata di ${\text{tg}}x={\frac {{\text{sen}}x}{{\text{cos}}x}}$ è ${\frac {{\text{cos}}^{2}x+{\text{sen}}^{2}x}{{\text{cos}}^{2}x}}$, cioè è ${\frac {1}{{\text{cos}}^{2}x}}$.

2° Nello stesso modo si prova che la derivata di ${\text{cotg}}x={\frac {{\text{cos}}x}{{\text{sen}}x}}$ vale $-{\frac {1}{{\text{sen}}^{2}x}}$.

Questa formola si può anche dimostrare ricordando che ${\text{cotg}}x={\frac {1}{{\text{tg}}x}}$, e usando poi del primo risultato di questo paragrafo.

§ 58. — Regola di derivazione delle funzioni inverse.

α) Tra le due variabili $x$ ed $y$ esiste una corrispondenza biunivoca, in guida cioè che ad ogni valore della $x$ in unc erto intervallo α corrisponda uno ed uno solo valore della $y$ di un certo intervallo β, e viceversa. Vale a dire la $y$ si possa considerare come funzione $f(x)$ della $x$ (per $x$ appartenente all'intervallo α) e viceversa la $x$ si possa considerare come fun-