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capitolo i — § 1

In altre parole la $\textstyle {\frac {4}{3}}=1,333.....$ equivale alle seguenti disuguaglianze

$\left.{\begin{matrix}1<{\frac {4}{3}}<2\\1,3<{\frac {4}{3}}<1,3+{\frac {1}{10}}=1,4\\1,33<{\frac {4}{3}}<1,33+{\frac {1}{100}}=1,34\\1,333<{\frac {4}{3}}<1,333+{\frac {1}{1000}}=1,334,{\text{eccetera}}.\end{matrix}}\right\}$ (1)

Osservazioni perfettamente analoghe valgono per la

${\frac {31}{30}}=1,0333\ldots ...$, eccetera

Anzi queste osservazioni ci permettono di dare un metodo per sviluppare in numero decimale un numero fratto generico $\textstyle {\frac {p}{q}}$. Se $N$ è, per esempio, il segmento, di cui $\textstyle {\frac {p}{q}}$ è la misura, si sottragga da $N$ il numero massimo possibile $n$ di volte il metro $M$. Questo massimo numero $n$ è la parte intera dello sviluppo. Dal segmento residuo $N_{1}$ si sottragga il massimo numero possibile $n_{1}$ di volte la decima parte di $M$. Questo intero $n_{1}$ sarà la prima cifra decimale dello sviluppo. Dal segmento residuo $N_{2}$ si sottragga il massimo numero possibile $n_{2}$ di volte la centesima parte di $M$. Il numero $n_{2}$ sarà la seconda cifra decimale del cercato sviluppo. E così via.

Analogo, ma leggermente distinto, è il significato delle

${\frac {1}{5}}=0,2000000.....$;

${\frac {1}{5}}=0,1999......$

La prima di queste significa che

$\left.{\begin{matrix}0\leq {\frac {1}{5}}<0+1=1\\0,2\leq {\frac {1}{5}}<0,2+{\frac {1}{10}}=0,3\\0,20\leq {\frac {1}{5}}<0,20+{\frac {1}{100}}=0,21\\0,200\leq {\frac {1}{5}}<0,200+{\frac {1}{1000}}=0,201,{\text{eccetera}}.\end{matrix}}\right\}$ (2)