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capitolo viii — § 58-59

Osservazione.

Si può dimostrare direttamente che $({\text{arcsen}}x')_{x}=+{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},({\text{arccos}}x)'_{x}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},({\text{arctg}}x)'_{x}={\frac {1}{1+x^{2}}}.$.

Ris. Dimostriamo, p. es., l'ultima formola. Ricordo che:

${\text{tg (arctg}}\alpha -{\text{arctg}}\beta )={\frac {\alpha -\beta }{1+\alpha \beta }}$, ossia:

${\text{arctg}}\alpha -{\text{arctg}}\beta ={\text{Arctg}}{\frac {\alpha -\beta }{1+\alpha \beta }}$.

Se ne deduce:

$({\text{arctg}}x)'_{x}=$

$\lim _{h=o}{\frac {{\text{arctg}}(x+h)-{\text{arctg}}x}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {{\text{arctg}}{\frac {h}{1+h(x+h)}}}{h}}=$ $=\lim _{h=0}{\frac {1}{1+x(x+h)}}\lim _{h=0}{\frac {{\text{arctg}}k}{k}}$, dove $k={\frac {h}{1+x(x+h)}}$.

Se ne deduce: $({\text{arctg}}x)'_{x}={\frac {1}{1+x^{2}}}\cdot 1={\frac {1}{1+x^{2}}}$.

§ 59. — Derivata delle funzioni di funzioni.

Sia $y$ una funzione di una funzione $z$ della $x$. Sia cioè

                              $y=f(z)$               ,               $z=\varphi (x)$.

Vale a dire, quando la $x$ varia in un certo intervallo, sia individuato il valore della variabile $z$; e questo valore della $z$ individui alla sua volta il valore di $y$ (§ 29, γ, pag. 97).

Supponiamo che esistano le derivate $y_{z}=f'(z){\text{e}}z'_{x}=\varphi '(x)$ della $y$ rispetto alla $z</<math>,edella<math>z$ rispetto alla $x$. Si vuol trovare la derivata $y'_{x}$ della $y$ (considerata come funzione della $x$) rispetto alla $x$.

L'incremento $\Delta x$ dato alla $x$ individua il corrispondente incremento $\Delta z$ ricevuto dalla $z$; e questo individua l'incremento della $Deltay$ della $y$.