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capitolo viii — § 59-60

siderare¹ $y$ come funzione di $x$. Sarà $y'_{z}={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'(t)dt}{x'(t)dt}}={\frac {y'(t)}{xx'(ty)}}$. L'equazione della retta tangente sarà

$y-y(\alpha )=[x-x(\alpha )]{\frac {y'(\alpha }{x'(\alpha )}}$,

ossia $[y-y(\alpha )]:y'(\alpha )=[z-z(\alpha )]:x'(\alpha )$; questa equazione si può dimostrare direttamente, anche senza ammettere che $y$ si possa considerare come funzione della $x$, e senza usare il linguaggio differenziale. L'allievo applichi tale formola p. es. alla curva $x=a{\text{cost}}\,t,y=b{\text{sen}}\,t$ che coincide con l'ellisse ${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$). (Cfr. Cap. 19, § 117).

§ 60. — Derivata logaritmica.

Sia $y=\log f(x)$, dove $f(x)$ è una funzione positiva derivabile. Posto $z=f(x)$, è $y=\log z$, dove $z=f(x)$. Sarà

$y'_{x}={\frac {1}{z}}z'_{x}={\frac {1}{f(x)f'(x)}}$.

Cioè:

La derivata del logaritmo di una funzione derivabile f(x)>0 o, come si suol dire, la derivata logaritmica di f(x) si ottiene dividendo la derivata f'(x) d f(x) per la stessa funzione f(x).

Viceversa sia

$y=e^{\varphi (x)}$, ossia $\varphi (x)=\log y$

Sarà $y=e^{z}$ dove $z=\varphi (x)$; e quindi $y'_{x}=y'_{z}z'_{x}=e^{x}\varphi '(x)$ ossia $y'x=y\varphi '(x)$.

Se il logaritmo di una funzione è derivabile), la derivata della funzione è uguale alla derivata del suo logaritmo moltiplicata per la funzione stessa.

Quest'ultimo teorema è spesso molto utile, perchè è talvolta più facile derivare il logaritmo di una funzione che la funzione stessa.

Se ne deduce che la derivata di $e^{e\,x}$ vale $ce^{e\,x}$. Questa formola vale anche se la costante e è complessa (così che risulta

1. Cioè si possa considerare t come funzione della x [inversa della $x=x(t)$]. La y sarà funzione di t, funzione della x, che si considererà come funzione della x.