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ancora una volta l'opportunità della definizione di Eulero). Infatti, se

$c=a+ib$

allora

$e^{ex}=e^{ax}({\text{cos}}\,bx+i\,{\text{sen}}\,bx)$.

Derivando con le regole abituali si prova facilmente l'asserto.

Esempi.

1° Si derivi $y=x^{n}$.

Ris.$\log \,y=n\,\log \,x,\,(\log \,y)'_{x}={\frac {n}{x}},y'_{x}=x^{n}{\frac {n}{x}}=nx^{n-1}$.

Questo risultato fondamentale era stato già da noi dimostrato per $n$ razionale (pag. 184 del § 58, eserc. 4°). Il lettore esamini il caso di $x\,\leq \,o$.

2° Si derivi $y=[f(x)]^{n}$.

Ris. $\log \,y=n\,\log \,f(x);(\log \,y)'_{x}=n[\log \,f(x)]';x=n{\frac {f'(x)}{f(x)}}$, donde $y'_{x}=my{\frac {f'(x)}{f(x)}}=n[f(x)]^{n-1}$. Si esamini il caso di $f(x)\,\leq \,0$.

Con altro e più semplice metodo si ponga $z=f(x)$. Sarà $y=z^{n},z=f(x)$ donde $y'_{x}=nz^{n-1}\,z'_{x}=n[f(x)]^{n-1}f'(x)$.

Anche questa formola ci era già nota per il caso di $n$ intero positivo (eserc. 2° del § 56, pag. 181).

3° Si derivi $y=[f(x)]^{\varphi (x)}$.

Si ha $\log \,y=\varphi (x)\,\log \,f(x)$; e perciò

$y'_{x}=f^{\varphi }[\varphi (x)\,\log \,f(x))]'_{x}=f^{\varphi }{\begin{Bmatrix}\varphi \,{\frac {f'(x)}{f(x)}}+\varphi '(x)\,\log \,f(x)\end{Bmatrix}}$.

Riassunto.

Si possono riassumere così i precedenti risultati:

Teorema.

Se $y$ è una funzione della $x$, che si può calcolare con somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, innalzamenti a potenza, consultazioni di tavole logaritmiche, e trigonometriche, altrettanto avviene generalmente per $y'$.