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CAPITOLO IX.
TEOREMI FONDAMENTALI SULLE DERIVATE E LORO PRIME APPLICAZIONI
§ 62. — Proprietà fondamentali delle derivate.
Sia una funzione continua nell'intervallo . Sia
un punto interno a tale intervallo.
α) Defin. Si dice che la funzione è crescente nel punto , se esiste un numero positivo tale che, per ogni numero positivo minore di , valga la:
.
[Oss. Altri impongono soltanto che
- ].
Con notazioni analoghe la si dice decrescente nel punto , se:
.
[Altri impongono soltanto ].
Oss. Se nel punto la funzione riceve il suo massimo o suo minimo valore, ivi la funzione non è né crescente né decrescente (quando però si addotti la nostra prima definizione).
Lemma. Se esiste ed è positivo, la è crescente nel punto . Se , la funzione è decrescente nel punto . Quindi, se nel punto la raggiunge il suo massimo, o il suo minimo valore, e se esiste ed è finita, allora .
Dimostriamo, p. es., la prima parte. Poiché , dalla segue (§ 32, oss. 6, pag. 109) che esiste un numero tale che, per , i rapporti
e
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- G. Fubini, Analisi matematica.