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CAPITOLO IX.

TEOREMI FONDAMENTALI SULLE DERIVATE E LORO PRIME APPLICAZIONI

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§ 62. — Proprietà fondamentali delle derivate.

Sia $f(x)$ una funzione continua nell'intervallo $(a,b)$. Sia $c$ un punto interno a tale intervallo.

α) Defin. Si dice che la funzione $f(x)$ è crescente nel punto $c$, se esiste un numero positivo $k$ tale che, per ogni numero $h$ positivo minore di $k$, valga la:

$f(c-h)<f(c)<f(c+h)$.

[Oss. Altri impongono soltanto che

$f(c-h)\leq f(c)\leq f(c+h)$].

Con notazioni analoghe la $f(x)$ si dice decrescente nel punto $c$, se:

$f(c-h)>f(c)>f(c+h)$.

[Altri impongono soltanto $f(c-h)\leq f(c)\leq f(c+h)$].

Oss. Se nel punto $c$ la funzione riceve il suo massimo o suo minimo valore, ivi la funzione non è né crescente né decrescente (quando però si addotti la nostra prima definizione).

Lemma. Se $f'(c)$ esiste ed è positivo, la $f(x)$ è crescente nel punto $c$. Se $f'(c)<0$, la funzione è decrescente nel punto $c$. Quindi, se nel punto $c$ la $f(x)$ raggiunge il suo massimo, o il suo minimo valore, e se $f'(c)$ esiste ed è finita, allora $f'(c)=0$.

Dimostriamo, p. es., la prima parte. Poiché $f'(c)=\lim _{h=+0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}=\lim _{h=+0}{\frac {f(c-h)-f(c)}{-h}}$, dalla $f'(c)>0$ segue (§ 32, oss. 6, pag. 109) che esiste un numero $k$ tale che, per $0<h<k$, i rapporti

${\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}$ e ${\frac {f(c-h)-f(c)}{-h}}$

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- G. Fubini, Analisi matematica.