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CAPITOLO IX — § 62

il suo valore massimo o minimo in un punto $c$ interno ad ( $a,\,b$ ); ma in tal caso il lemma precedente dimostra che ivi $f'(c)=0$ .

Poichè $c$ è interno ad ( $a,\,b$ ), potremo scrivere:

$c=a+\theta (b-a)$ $(0<\theta <1)$

dove $\theta$ è compreso tra $0$ ed $1$ (i numeri $0{\text{ed}}1$ esclusi).

Se si pone $b=a+h$ , sarà $c=a+\theta h$ ¹.

Generalizzazioni.

Siano $f(x),\varphi (x)$ due funzioni derivabili nell'intervallo $(a,\,b$ . E sia $\varphi (a)\not =\varphi (b)$ ; in altre parole la $\varphi (x)$ assume valori differenti agli estremi dell'intervallo $(a,b$ .

Costruiamo la funzione

$F(x)=f(x)+k\,\varphi (x)$ ,

dove $k$ è una costante, che noi sceglieremo in guisa che $F(a)=F(b)$ , ossia che

$f(a)+k\,\varphi (a)=f(b)+k\,\varphi (b)$ ;

da cui si trae $k=-{\frac {f(a)-f(b)}{\varphi (a)-\varphi (b)}}$ ; formola che è lecito scrivere, perchè per ipotesi il denominatore $\varphi (a)-\varphi (b)\not =0$ .

Quindi la funzione

$F(x)=f(x)-{\frac {f(a)-f(b)}{\varphi (a)-\varphi (b)}}\varphi (x)$

è una funzione derivabile (perchè $f(x)$ e $\varphi (x)$ sono derivabili) e assume valori uguali per $x=a$ e $x=b$ .

Perciò, per il teorema di Rolle, esiste almeno un punto dell'intervallo $(a,b)$ in cui la derivata $F'x$ è zero; questo punto

↑ Il teorema può non essere vero se non sono soddisfatte le ipotesi enunciate, cioè se la $f(x)$ ha in qualche punto interno ad ( $a,\,b$ ) derivata infinita non determinata dal segno o indeterminata.
Il lettore se ne convincerà facilmente pensando ad una linea $y=f(x)$ composta di due segmenti di rette concorrenti in un punto di ascissa c, nel quale la $f(x)$ raggiunga, p. es., il suo massimo valore; oppure pensando a un linea $y=f(x)$ composta di due archi di cerchi concorrenti in un punto di ascissa c, nel quale posseggano una stessa tangente perpendicolare all'asse delle $x$ , nel caso che in ogni tale punto la y raggiunga, p. es., il suo massimo valore. Nel primo caso la $y'$ non è per $x=c/$ determinata, nel secondo la $y'$ non è finita. In tali casi, secondo le nostre convenzioni, noi diciamo che $y'$ non esiste.

Un'osservazione analoga si presenterà nel paragrafo 70, ove studieremo i punti di massimo e di minimo di una funzione <matH>f(x)</math.

[1] Il teorema può non essere vero se non sono soddisfatte le ipotesi enunciate, cioè se la $f(x)$ ha in qualche punto interno ad ( $a,\,b$ ) derivata infinita non determinata dal segno o indeterminata.
Il lettore se ne convincerà facilmente pensando ad una linea $y=f(x)$ composta di due segmenti di rette concorrenti in un punto di ascissa c, nel quale la $f(x)$ raggiunga, p. es., il suo massimo valore; oppure pensando a un linea $y=f(x)$ composta di due archi di cerchi concorrenti in un punto di ascissa c, nel quale posseggano una stessa tangente perpendicolare all'asse delle $x$ , nel caso che in ogni tale punto la y raggiunga, p. es., il suo massimo valore. Nel primo caso la $y'$ non è per $x=c/$ determinata, nel secondo la $y'$ non è finita. In tali casi, secondo le nostre convenzioni, noi diciamo che $y'$ non esiste.

Un'osservazione analoga si presenterà nel paragrafo 70, ove studieremo i punti di massimo e di minimo di una funzione <matH>f(x)</math.

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