Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/216

Da Wikisource.
Jump to navigation Jump to search
200 Capitolo ix - § 63

OSSERVAZIONI.


1° Si è dimostrato che se , e se esiste il esiste anche il , ed è uguale al precedente1. Un teorema analogo vale se . Lasciando ai trattati di calcolo la dimostrazione completa (piuttosto delicata) di tale teorema, noi la esporremo nell'ipotesi che esista, sia finito e diverso da zero. Poichè nelle nostre ipotesi è , sarà . Moltiplicando primo e ultimo membro per si ottiene appunto .

2° Questi teoremi valgono anche per , cioè se i termini della frazione tendono per entrambi a , oppure ad . Posto infatti , si ha:

3° Talvolta con questi teoremi si riesce a calcolare il limite di un prodotto che si presenta nella forma , ossia il limite del prodotto di due fattori , di cui uno tende a zero, l'altro a . Basterà scrivere il prodotto nella forma , e poi applicare a questi quozienti il metodo precedente.

4° Si deve talvolta trovare il limite di una potenza, che sì presenta nella forma , oppure , oppure , ecc., vale a dire di una potenza, la cui base tende ad , l'esponente ad , oppure di cui base ed espanente tendono entrambi a zero, ecc. In tal caso si cerca dapprima col metodo dell'esercizio 3° il limite del logaritmo di una tale potenza. Il liniite della potenza sarà .

5° Si deve talvolta cercare il limite di una differenza , che sì presenta nella forma , perchè entrambi i termini tendono ad .

In tal caso si scrive nella forma di un prodotto cercando poi di applicare i metodi precedenti.

  1. Il teor. reciproco non è generalmente vero. Infatti noi abbiamo dimostrato che ove è un certo punto intermedio tra ed . Non è detto però che, al variare di , la assuma tutti i valorì di un intorno di e che non ne salti qualcuno; cosicchè studiando ì valori di si studierebbero alcuni, ma non tutti i valori che il rapporto delle loro derivate assime în un intorno del punto . E quindi nulla si può concludere per il limite dì tale rapporto senza studi più minuti.