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Capitolo ix - § 63

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OSSERVAZIONI.

1° Si è dimostrato che se $\lim _{x=a}f(x)=\lim _{x=a}\varphi (x)=0$, e se esiste il $\lim _{x=a}{\frac {\varphi '(x)}{f'(x)}}$ esiste anche il $\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$, ed è uguale al precedente¹. Un teorema analogo vale se $\lim _{x=a}f(x)=\lim _{x=a}\varphi (x)=0$. Lasciando ai trattati di calcolo la dimostrazione completa (piuttosto delicata) di tale teorema, noi la esporremo nell'ipotesi che $\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$ esista, sia finito e diverso da zero. Poichè nelle nostre ipotesi è $\lim _{x=a}{\frac {1}{f(x)}}=\lim _{x=a}{\frac {1}{\varphi (x)}}=0$, sarà $\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}=\lim _{x=a}{\frac {\left({\frac {1}{\varphi (x)}}\right)}{\left({\frac {1}{f(x)}}\right)}}=\lim _{x=a}{\frac {\left({\frac {1}{\varphi (x)}}\right)'}{\left({\frac {1}{f(x)}}\right)'}}=\lim _{x=a}{\frac {\varphi '(x)}{f'(x)}}\left[{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}\right]^{2}={\frac {\varphi '(x)}{f'(x)}}\left\{\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}\right\}^{2}$. Moltiplicando primo e ultimo membro per $\left\{\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}\right\}^{2}$ si ottiene appunto $\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}=\lim _{x=a}{\frac {f'(x)}{\varphi '(x)}}$.

2° Questi teoremi valgono anche per $a=\infty$, cioè se i termini della frazione tendono per $x=\infty$ entrambi a $0$, oppure ad $\infty$. Posto infatti $x={\frac {1}{z}}$, si ha:

${\begin{aligned}\lim _{x=\infty }{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}&=\lim _{z=0}{\frac {f\left({\frac {1}{z}}\right)}{\varphi \left({\frac {1}{z}}\right)}}=\lim _{z=0}{\frac {\left[f\left({\frac {1}{z}}\right)\right]'_{z}}{\left[\varphi \left({\frac {1}{z}}\right)\right]'_{z}}}\\&=\lim _{z=0}{\frac {f'\left({\frac {1}{z}}\right)\left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}{\varphi '\left({\frac {1}{z}}\right)\left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}}=\lim _{z=0}{\frac {f'\left({\frac {1}{z}}\right)}{\varphi '\left({\frac {1}{z}}\right)}}=\lim _{x=\infty }{\frac {f'(x)}{\varphi '(x)}}\end{aligned}}$

3° Talvolta con questi teoremi si riesce a calcolare il limite di un prodotto che si presenta nella forma $0\cdot \infty$, ossia il limite del prodotto di due fattori $f(x)$, $\varphi (x)$ di cui uno tende a zero, l'altro a $\infty$. Basterà scrivere il prodotto $f(x)\varphi (x)$ nella forma ${\frac {f(x)}{\left({\frac {1}{\varphi (x)}}\right)}}={\frac {\varphi (x)}{\left({\frac {1}{f(x)}}\right)}}$, e poi applicare a questi quozienti il metodo precedente.

4° Si deve talvolta trovare il limite di una potenza, che sì presenta nella forma $1^{\infty }$, oppure $0^{0}$, oppure $+\infty ^{0}$, ecc., vale a dire di una potenza, la cui base tende ad $1$, l'esponente ad $\infty$, oppure di cui base ed espanente tendono entrambi a zero, ecc. In tal caso si cerca dapprima col metodo dell'esercizio 3° il limite $L$ del logaritmo di una tale potenza. Il liniite della potenza sarà $e^{L}$.

5° Si deve talvolta cercare il limite di una differenza $f(x)-\varphi (x)$, che sì presenta nella forma $\infty -\infty$, perchè entrambi i termini tendono ad $\infty$.

In tal caso si scrive $f(x)-\varphi (x)$ nella forma di un prodotto $f(x)\left[1-{\frac {\varphi (x)}{f(x)}}\right]=\varphi (x)\left[{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}-1\right]$ cercando poi di applicare i metodi precedenti.

1. Il teor. reciproco non è generalmente vero. Infatti noi abbiamo dimostrato che ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}={\frac {f(x_{1})}{\varphi (x_{1})}}$ ove $x_{1}$ è un certo punto intermedio tra $a$ ed $x$. Non è detto però che, al variare di $x$, la $x_{1}$ assuma tutti i valorì di un intorno di $a$ e che non ne salti qualcuno; cosicchè studiando ì valori di ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$ si studierebbero alcuni, ma non tutti i valori che il rapporto delle loro derivate assime în un intorno del punto $a$. E quindi nulla si può concludere per il limite di tale rapporto senza studi più minuti.