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202 CAPITOLO IX — § 63

Quindi la serie

converge o diverge secondo che è finito o infinito, perchè la somma dei suoi primi termini è compresa tra

,

e tende per a un limite finito soltanto quando altrettanto avviene per .

Ponendo , oppure , oppure si dimostra subito, p. es., che la serie

,

, ecc.

sono divergenti. Nella seconda si è cominciato dal termine corrispondente ad perchè per la non ha derivata finita.

ε) Funzioni a derivata nulla.

Ricordiamo il teorema:

Una funzione costante ha derivata identicamente nulla.

Dimostriamo il teorema reciproco, d'importanza fondamentale: Una funzione la cui derivata è identicamente nulla, è costante.

Infatti siano e due punti qualsiasi dell'intervallo, ove la è definita. Per il teorema della media di Lagrange, il rapporto

è uguale alla derivata in un punto intermedio, ed è quindi nullo, perchè è nulla dappertutto. Il suo numeratore è quindi nullo; cioè . La funzione , riprendendo lo stesso valore in due punti qualsiasi , è quindi una costante.     c. d. d.

Questo teorema è geometricamente intuitivo. Dire che è sempre nullo è asserire che le tangenti alla curca sono tutte parallele all'asse delle . Dire che è costante equivale ad asserire che la curva è una retta o un segmento, i cui punti distano ugualmente dall'asse delle , ossia che tale curva è un segmento parallelo all'asse delle . Il teorema geometricamente significa dunque:

Se le tangenti della curva sono tutte parallele all'asse x, tale curva è una retta o un segmento all'asse delle x.

meccanicamente questo teorema è pure evidente, e ci dice che un punto il quale si muove su una retta (ed ha all'istante