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CAPITOLO IX — § 64

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In particolare:

Condizione necessarie e sufficiente affinchè a sia radice della $\mathrm {f(x)=0}$ di ordine maggiore di 1 è che a sia radice della $\mathrm {f(x)=0}$, e sia radice (di ordine positivo) della $\mathrm {f'(x)=0}$.

Questo teorema ha particolare importanza nel caso dei polinomi $P(x)$. Se $P(x)=\alpha _{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2}).....(x-\alpha _{n})$, uno dei numeri $\alpha _{1},\alpha _{2},....,\alpha _{n}$, p. es., $\alpha _{1}$, sarà radice della $P(x)=0$ di ordine $h$, soltanto se $h$ è un intero positivo, e se tra i numeri $\alpha _{1},\alpha _{2},.....,\alpha _{n}$ ve ne sono $h$ uguali ad $\alpha _{1}$. Il fattore corrispondente $x-\alpha _{1}$ compare $h-1$ volte in $P'(x),h-2$ volte in $P''(x),.....$, una volta in $P^{(h-1)}(x)$, nessuna volta in $P^{(h)}(x)$. È facile dedurne:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè $\alpha _{1}$ sia radice di ordine h per un'equazione algebrica $P(x)=0$ è che h sia un intero, e che $\alpha _{1}$ sia radice delle $P(x)=0,P'(x)=0,.....,P^{(h-1)}(x)=0$ e non sia radice della $P^{(h)}(x)=0$.

Quest'ultimo teorema vale anche se $\alpha _{1}$ è un numero complesso ed anche se i coefficienti di $P(x)$ sono complessi.

Se ne deduce anche:

Il massimo comun divisore di $\mathrm {P(x)}$ e $\mathrm {P'(x)}$ contiene tutti e i soli fattori multipli del polinomio $\mathrm {P(x)}$; e precisamente contiene $\mathrm {h-1}$ volte un fattore multiplo di ordine h. Se $\mathrm {Q(x)}$ è il quoziente di $\mathrm {P(x)}$ per tale massimo comun divisore, l'equazione $\mathrm {Q(x)=0}$ ha per radici semplici tutte e solo le radici di $\mathrm {P(x)=0}$.

Si può, del resto, dedurre da quanto precede un metodo più completo per approfondire l'esame di una equaazione algebrica dotata di radici multiple. E noi, per semplicità, lo esporremo in un caso particolare.

Consideriamo un'equazione dotata di radici multiple, p. es., la:

$0=f(z)=(z-a)(z-b)(z-c)^{2}(z-d)^{2}(z-e)^{3}(z-f)^{4}$

Il massimo comune divisore $\varphi (z)$ tra la $f(z)$ e la sua prima derivata $f'(z)$ è:

$\varphi (z)=(z-c)(z-d)(z-e)^{2}(z-f)^{3}$.

Del pari il massimo comune divisore tra $\varphi (z)$ e $\varphi '(z)$ è:

$\varphi _{1}(z)=(z-e)(z-f)^{2}$.

Così il massimo comune divisore tra $\varphi _{1}(z)$ e $\varphi '_{1}(z)$ è:

$\varphi _{2}(z)=(s-f)$;

Infine il M. C. D. tra $\varphi _{2}(z)$ e $\varphi '_{2}(z)$ è:

$\varphi _{3}(z)=1$.

Ciò posto, si formino i quozienti:

$\psi (z)={\frac {f(z)}{\varphi (z)}}=(z-a)(z-b)(z-c)(z-d)(z-e)(z-f)$;

$\psi _{1}(z)={\frac {\varphi (z)}{\varphi _{1}(z)}}=(z-c)(z-d)(z-e)(z-f)($:

$\psi _{2}(z)={\frac {\varphi _{1}(z)}{\varphi _{2}(x)}}=(z-e)(z-f)$;

$\psi _{3}(z)={\frac {\varphi _{2}(z)}{\varphi _{3}(z)}}=z-f$.