Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/225

Da Wikisource.

serie di potenze 209

vergenza, noi potremo dire e diremo che, dentro tale cerchio, tale serie è funzione della variabile x reale complessa1.

Poichè le nostre serie sono la più naturale estenzione dei polinomi, la precedente definizione è la più naturale generalizzione delle definizioni date al § 50, pag. 168.


§ 67. — Derivate di una serie di potenze.


Consideriamo la serie

(2)     ,

che si deduce derivando (1) termine a termine. Io dico che anche la (2) converge totalmente in ogni regione tutta interna al cerchio di convergenza della (1). Infatti sia il massimo valore della in tale regione. Sia un numero per cui ed . La (1) convergerà per . Esisterà quindi, come dicemmo, una costante tale che per tutti i valori di .

Quindi, quando si muove in guisa tale che :

, dove è posto .


La serie

(3)     

converge, perchè il rapporto


di un termine al precedente tende per a .

14 — G. Fusini, Analisi matematica.
  1. Per dare almeno un cenno del perchè si considerino come funzione di una variabile complessa soltanto i polinomi e le serie di potenze, ricorderò l'enunciato di un celebre e meraviglioso teorema di Cauchy:↵Se y è un numero (reale o complesso) che ha un valore determinato per ogni valore reale o complesso di una variabile x, quando il punto immagine di x è interno ad una regione R, se cioè la y è in R funzione della x, e se esiste ed è continua la sua derivata prima y', allora, se α è un qualsiasi punto di R, la y è sviluppabile in serie di potenze di . E tale sviluppabilità vale in tutti i punti interni al massimo cerchio che ha per centro il punto α e non contiene punti esterni ad ↵Il lettore, che si diletta di questioni teoriche, confronti questo semplice teorema coi teoremi ben più complicati che troveremo più avanti per la sviluppabilità in serie di potenze di una funzione di variabile reale x.