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capitolo x — § 68-69

cienti dei termini di grado superiore ad $n$. Ciò che si può verificare, osservando che un polinomio di grado $n$ ha nulle tutte le derivate di ordine superiore ad $n$. per ogni polinomio $P_{n}(x)$ di grado $n$ vale dunque (posto $P=P_{n}$) la:

(7)     $P_{n}(x)=P(\alpha )+{\frac {P'(\alpha )}{1}}(x-\alpha )+{\frac {P''(\alpha )}{\lfloor {2}}}(x-\alpha )^{2}+.....$

$.....+{\frac {P^{(n)}(\alpha )}{\lfloor {n}}}(x-\alpha )^{n}$.

il lettore verifichi direttamente che (7) è un'identità, viluppando i singoli termini del secondo membro con la formola del binomio.

§ 69. — Sviluppabilità di una funzione in serie di potenze.

Ci proponiamo ora un problema intimamente connesso al precedente risultato, cioè il problema seguente:

Se $\mathrm {f(x)}$ è una funzione reale prefissata della variabile reale $x$ data in un intorno nel punto $x=\alpha$, come si può riconoscere se essa è sviluppabile in serie (di Taylor) di potenze della variabile $\mathrm {x-\alpha }$?

Se tale sviluppo è lecito, allora in un intorno di α dovrebbe, come sappiamo, valere la

$f(x)=f(\alpha )+{\frac {x-\alpha )}{1}}f'(\alpha )+.....+{\frac {(x-\alpha )^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n)}(\alpha )+.....$

che equivale (per definizione di serie) alla

$\lim _{n=\infty }\left[f(x)-{\begin{Bmatrix}f(\alpha )+{\frac {(x-\alpha )}{1}}f'(\alpha )+{\frac {(x-\alpha )^{2}}{\lfloor {2}}}f''(\alpha )+.....{\frac {(x-\alpha )^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n)}(\alpha )\end{Bmatrix}}\right]=0$.

La quantità tra $[\,]$ si chiama rest0, e si indica con $R_{n}$. È dunque

(8) $R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$ dove $P_{n}(x)=f(\alpha )+{\frac {x-\alpha }{1}}f'(\alpha )+.....$

$.....+{\frac {(x-\alpha )^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n)}(\alpha )$.