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serie di potenze

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vamente la somma di quei termini della nostra serie, che hanno coefficiente positivo [negativo]; oppure porre

                         $\varphi _{1}(x)=\sum |a_{n}|x^{n}$,     $\varphi _{2}(x)=\sum (|a_{n}|-a_{n})x^{n}$.

Teorema 2° $B$ (di Bernstein). La precedente condizione necessaria è anche sufficiente.

Sia infatti $\varphi (x)$ una funzione positiva in $0\leq \,x<R$ con tutte le sue derivate. Se $0<h<R$, nell'intervallo $h\leq \,x\mathbb {R}$ si avrà

                              $\varphi ^{(n)}(x)\geq \,\varphi ^{(n)}(h)$          (perchè$\varphi ^{(n+1)}\geq \,0$),

donde, integrando

$\varphi ^{(n-1)}(x)\geq \,\varphi ^{(n-1)}(x)-\varphi ^{(n-1)}(h)\geq \,(x-h)\varphi ^{(n)}(h)$

$\varphi ^{(n-2)}(x)\geq \,\varphi ^{(n-2)}(x)-\varphi ^{(n-2)}(h)\geq \,{\frac {(x-h)^{n-2}}{\lfloor {2}}}\varphi ^{(n)}(h)$

$.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.$

$\varphi ^{n}(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\geq \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\geq {\frac {(x-h)^{n-2}}{\lfloor {n-2}}}\varphi ^{(n)}(h)$

Cioè, posto ${\frac {h}{x}}=\theta$, dove $\theta$ è compreso tra $0$ ed $1$, sarà:

$\varphi ^{(}x)}(\theta \,x)\leq \,{\frac {\varphi ''(x)}{(1-\theta )^{n-2}x^{n-2}\lfloor {n-2}}$,

Posto:

$\Phi _{n}(\theta ,\,x)=x^{n}{\frac {(1-\theta )^{n-1}}{\lfloor {n-1}}}\varphi ^{(n)}(\theta \,x)$,

si ha (Caouchy) che (per un valore, generalmente ignoto di $\theta$) la $\Phi _{n}(\theta ,\,x)$ rappresenta il resto della serie di Taylor relativa alla funzione $\varphi (x)$. Ora, per il nostro risultato,

$\Phi _{n}(\theta ,\,x)\leq \,x^{2}\,\varphi ''(x){\frac {-\theta }{n-}}$

e tende per $n=\infty$ a zero (ciò che basta ad assicurare la sviluppabilità di $\varphi (x)$ in serie di Taylor). Essendo $\varphi _{(}x),\varphi _{(}x)$ sviluppabili in serie di taylor, altrettanto avverrà di

$f(x)=\varphi _{(}x)-\varphi _{(}x)$

{{smaller|Anzi, il resto della corrispondente serie di Taylor, scritto nella forma di Cauchy, sarà uguale alla differenza tra le $\Phi _{n}(\theta ,\,x)$ corrispondenti a $\varphi _{(}x)$ ed a $\varphi _{(}x)$.

Tale resto di Cauchy sarà dunque minore di

$x^{\frac {-}{n-}}[\varphi _{'}'(x)+\varphi _{'}'(x)]\leq$

$leq\,{\frac {r^{2}}{n-}}(-\theta )[\varphi _{'}'(r)+\varphi _{'}'(r)]\,\,\,$ (se$x\leq \,r\mathbb {R}$),

e perciò, prendendo $n$ abbastanza grande, si può rendere minore di un numero $\epsilon$ picolo a piacere. Basta prendere $n-1\geq \,{\frac {r^{[}\varphi _{'}'(r)+\varphi _{'}'(r)]}{\epsilon }}$ Il secondo membro di questa disuguaglianza non dipende da $\theta$; cioè l'espressione del resto di Cauchy si può rendere, scegliendo $n$ abbastanza grande, minore di un umero $\epsilon$ prefissato (piccolo a piacere) contemporaneamente per tutti i valori di $\theta$ compresi tra $0$ ed $1$

Teorema 3° (di Pringshein). 'L'espressione trovata del resto di cauchy converge pertanto uniformemente a zero, quando x varia in un qualsiasi intervallo $\mathrm {0\leq \,x\leq \,r}$, dove $\mathrm {r<R}$, e $\theta$ varia arbitrariamente nell'intervallo (0, 1).

Un risutato analogo non vale per il resto di Lagrange; il quale perciò presenta nelle applicazioni il difetto che talvolta non si può affermare esser nullo il suo limite, perchè non si conosce il valore esatto di $\theta$. L'ignorare tale valore non ha invece importanza per il resto di Cauchy.