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serie di potenze

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perchè già abbiamo visto (esempio 1° di pag. 151) che:

$\lim _{n=\infty }{\frac {x^{n}}{\lfloor {n}}}=0$.

Si ha dunque:

${\text{sen}}\,x=x-{\frac {x^{3}}{\lfloor {3}}}+{\frac {x^{5}}{\lfloor {5}}}-{\frac {x^{7}}{\lfloor {7}}}+{\frac {x^{9}}{\lfloor {9}}}-.....$

In modo analogo si dimostra che:

${\text{cos}}\,x=1-{\frac {x^{2}}{\lfloor {2}}}+{\frac {x^{4}}{\lfloor {4}}}-{\frac {x^{6}}{\lfloor {6}}}+.....$

Il resto della serie di Taylor per la funzione $e^{x}$ vale ${\frac {x^{n}}{\lfloor {n}}}e^{\delta \,x}$, ove $e^{\theta \,x}$ è compreso tra $e^{\theta }=1$ ed $e^{x}$ (perchè $\theta$ è compreso tra $0$ ed $1$, e die due potenze di $e$ è maggiore quella con esponente maggiore), Quindi $e^{\theta \,x}$ non supera il più grande dei due numeri $1$ ed $e^{x}$¹(che non varia con $n$). D'altra parte ${\frac {x^{n}}{\lfloor {n}}}$ tende a zero per $n=\infty$. Quindi $e^{x}$ è sviluppabile in serie di taylor, perchè il resto $R_{n}$ tende a zero per $n=\infty$. Si trova:

$x=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{\lfloor {2}}}+{\frac {x^{3}}{\lfloor {3}}}+....$

Quest'ultima serie si dice esponenziale, e serve a calcolare un numero $y=e^{x}$, di cui sia dato il logaritmo neperiano $x$.

5° Si sviluppi in serie di Taylor $y=(1+x)^{m}$. Poichè

$y^{(n)}=m(m-1)...(m-n+1)(1+x)^{m-n}$,

sarà

$y=1+mx+{\frac {m(m-1)}{\lfloor {2}}}x^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{\lfloor {3}}}x^{3}+.....$

quando il limite del resto sia nullo. Se $m$ è intero positivo, allora, per ogni valore della $x$, la precedente serie si riduce a un polinomio, perchè $y^{(n)}=0$ per $n>m$, ed il resto stesso è nullo già per $n=m+1$, Si ritorna in tal caso alla nota for-

1. Se $x>0$, $e^{x}$ è il più grande di $1$; invece, se $x<0$, è $e^{x}<1$.