mola del binomio di Newton. Se non è intero positivo, si dimostra che il resto tende a zero, e che il precedente sviluppo in serie è legittimo se (e non se ; il caso non ci interessa)1.
Tale serie dicesi binomiale
Questo risultato si può provare direttamente nel seguente modo. Dal § 45, pag. 151, sappiamo che la serie precedente converga per . Sia il suo valore. Sarà:
(per ).
Cosicchè si trova facilmente che:
, ossia , ossia . Quindi ha derivata nulla, cioè è costante. Dunque è costante, ossia (poichè è uguale ad per ) vale . Dunque non è mai nullo; e, poichè è positivo . sarà positivo in tutto il campo , ove è definito. Dunque . Per
c. d. d.
6° Per sviluppare in serie si noti che
, , ecc.,
Lo sviluppo in serie sarà:
(1),
purchè il
resto tenda a zero. Senza studiare il resto possiamo provare direttamente la (1) per
. [Nel caso
si può dimostrare similmente che la serie precedente non converge; il caso di
non ci interessa]. Se
, il valore asso-
- ↑ Questo sviluppo in serie può essere talvolta utile per il calcolo di , se . Detto un intero positivo tale che sia compreso tra e , si ponga , dove sarà . Sarà , dove è posto . Si può allora applicare la formola precedente. Il calcolo è specialmente rapido, se è piccolo. E' forse inutile avvertire che è sempre sottinteso di dare alla valori tali che esista un valore reale di (1+x)^m</math> (ciò che avviene se ) e che tra i valori, di cui può essere suscettibile, si sceglie quello reale e positivo.