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serie di potenze

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luto del rapporto di un termine al precedente nella serie (1), cioè $\left|{\frac {x^{n}}{n}}:{\frac {x^{n-1}}{n-1}}\right|=\left|x\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\right|$ tende per $m=\infty$ ad $|x|<1$. Cosicchè la serie del secondo membro di (1) converge. Se $\varphi (x)$ ne è la somma, e si trova derivando:

$\varphi '(x)=1-x-x^{2}-x^{3}x^{4}\,.....$;

il secondo membro è una progressione geometrica decrescente, il cui rapporto è $-x$, e la cui somma vale dunque ${\frac {1}{1+x}}={\frac {d}{dx}}[\log(1+x)]$. Dunque $\varphi (x)-\log(1+x)$ ha derivata nulla, ed è quindi costante. Ma per <math<x=0</math> tale differenza è nulla. Dunque $\varphi (x)-\log(1+x)$ è sempre nulla. E, come si poteva provare, $\varphi (x)=\log(1+x)$.

Questa serie serve al calcolo diretto dei logaritmi dei numeri $1+x$, ove $|x|<1$, ossia dei numeri minori di $2$. Ora, preso un qualsiasi numero positivo $k$, almeno uno dei due numeri $k$, ${\frac {1}{k}}$ è minore di $2$. E quindi per mezzo della serie precedente si può calcolare uno dei numeri $\log \,k\,{\frac {1}{k}}$ e quindi anche l'altro, perchè questi due numeri sono uguali e di segno contrario, cosicchè, se uno di essi è noto, è noto anche l'altro. Ma si possono trovare serie assai più comode per il calcolo numerico. Posto in (1) $-x$ al posto di $x$, si trae:

$\log(1-x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}-.....(|x|<1)$;

la quale, sottratta dalla (1), dà:

$\log {\frac {1+x}{1-x}}=\log(1+x)-\log(1-x)=2|x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+...|(|x|<1)$.

Posto ${\frac {1+x}{1-x}}=z$, ossia $x={\frac {z-1}{z+1}}$, sarà $|x|<1$ per $z>0$, cosicchè per ogni numero positivo $\mathrm {z}$ si avrà:

(2) $\log \,z=2\left\{{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+.....\right\}$.

Così, p. es., se si pone $z=2$, si trova:

$\log \,2={\frac {2}{3}}\,\left\{1+{\frac {1}{3}}\,\cdot \,{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}+{\frac {1}{7}}+\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}+.....\right\}$.