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massimi, minimi, flessi

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dedotto o dallo stesso problema che si studia, o dal fatto che si esamina una funzione $f(x)$ continua in un intervallo finito: cosicchè in tal caso il teorema di Weierstrass ci assicura dell'esistenza di tali punti $A$. Notiamo che:

Un punto $\mathrm {A}$, dove $\mathrm {f(x)}$ riceve il suo massimo, o il suo minimo valore, o è un punto di massimo o di minimo (relativo) secondo le precedenti definizioni, oppure cade agli estremi dell'intervallo $\mathrm {I}$ ove $\mathrm {f(x)}$ è definito (perchè le precedenti definizioni si riferiscono soltanto ai punti interni all'intervallo, ove $f(x)$ è definita). Cosicchè tali punti $\mathrm {A}$ sono da ricercarsi trai punti che o sono punti di massimo o minimo relativo, oppure sono estremi all'intervallo $I$. Anzi è nei casi più elementari lecito trascurare gli estremi di $\mathrm {I}$.

Da ciò risalta quanta importanza abbia, anche per la ricerca di tali p unti $A$, cioè dei punti di massimo o minimo assoluto, la ricerca dei punti di massimo o minimo relativo, di cui ora ci occupiamo.

Dalla figura 25 appare intuitivo che in un punto di massimo o di minimo relativo la tangente alla curva $y=f(x)$ è parallela all'asse delle $x$, ossia più precisamente che in un tale punto $f'(x)$ (ammesso che $f'(x)$ esista e sia finita) è nulla. Non è però ver la proposizione reciproca.

Fig. 24. In un punto $x=a$ (fig. 24) tale tangente può essere parallela all'asse delle $x$, senza che il punto $x=a$ sia un punto nè di massimo, nè di minimo.

β) Sia $a$ un punto interno all'intervallo, ove $f(x)$ è definita. Esista e sia finito $f'(a)$. Sappiamo già (§ 62, pag. 193) che:

1° Se $\mathrm {f'(a)>0}$ la differenza $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ ha per $\mathrm {h}$ abbastanza piccolo, il segno di $\mathrm {h}$, cosicchè $\mathrm {f(x)}$ è crescente nel punto $\mathrm {a}$.

2° Se $\mathrm {f'(a)<0}$, la differenza $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ ha, per $\mathrm {h}$ abbastanza piccolo, segno opposto a quello di $\mathrm {h}$, cosicchè $\mathrm {f(x)}$ è decrescente nel punto $\mathrm {a}$.

Quindi, se $\mathrm {f'(a)\not =0}$, la funzione in $\mathrm {A}$ non ha nè un massimo nè un minimo.

15 — G. Fusini, Analisi matematica.