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capitolo xi — § 70

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Se quindi per $\mathrm {x=a}$ la funzione ha un massimo o un minimo, è $\mathrm {f'(a)=0}$. (Il teor. reciproco, come già vedemmo, e come proveremo più avanti, non è sempre vero). Fig. 25. Oss. Già qui si vede come sia essenziale l'ipotesi che il punto $a$ sia interno, e non agli estremi dell'intervallo, ove $f(x)$ è definita.

Per es., nel caso della figura 25, il valore minimo di $f(x)$ è all'estremo sinistro, ove $f'(x)\not =0$, perchè la tangente non è vi è parallela all'asse delle $x$.

Questi teoremi sono dimostrati senza ricorrere all'ipostei che $f'(x)$ sia continua per $x=a$; e sono generalizzabili al caso che $f'(x9$ sia infinita per $x=a$, purchè di segno determinato. Si osservi ancora che il precedente risultato si può enunciare così:

In un punto $\mathrm {x=a}$ (interno all'intervallo ove $f(x)$ è definita) che sia un punto di massimo o di minimo per la $\mathrm {f(x)}$, o la $\mathrm {f(x)}$ non possiede derivata determinata e finita, oppure $\mathrm {f'(x)=0}$.

Il lettore può illustrare il primo di questi due casi ricorrendo, p. es., ad una curva $y=f(x)$ formata di due segmenti concorrenti in un punto, ove la $y$ ha il massimo valore, oppure ad una curva $y=f(x)$ formata di due archi di cerchio che si toccano in un punto, ove la tangente comune è normale all'asse delle $x$. (cfr. l'ultima Nota al § 62, pag. 196).

Con metodi analoghi si dimostra:

Se $\mathrm {b}$ è l'estremo sinistro dell'intervallo ove è definita, o dove si studia la $\mathrm {f(x)}$, allora, se $\mathrm {f'(b)>0}$, il valore $\mathrm {f(b)}$ assunto da $\mathrm {f(x)}$ per $\mathrm {x=b} x$ è minore dei valori assunti in un intorno (naturalmente destro) abbastanza piccolo del punto $\mathrm {x=b}$. E, se, $\mathrm {f'(b)<0}$, il valore $\mathrm {f(b)}$ è maggiore dei valori assunti in un tale intorno. Viceversa, se $\mathrm {b}$ è l'estremo destro dell'intervallo ove $\mathrm {f(x)}$ è definita.

Il caso che in un tale estremo sia $f'(b)=0$ si può trattare in modo simile a quello che noi useremo nelle seguenti pagine. Al lettore è lasciato un simile studio, che ha pure una qualche importanza.

2° caso. Esaurito il caso $f'(a)\not =0$, studiamo ciò che avviene se $f'(a)=0$ (supposto naturalmente che $a$ sia interno all'intervallo, ove $f(x)$ è definita). E supponiamo dapprima che $f''(a)\not =0$. La seconda delle formole di Taylor-Lagrange (cfr. la (9) di pag. 214) ci dice che sarà:

$f(a+h)-f(a)={\frac {h^{2}}{\lfloor {2}}}f''(a+\theta h)$.