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Massimi, minimi, flessi 227

Se è continua per , potremo trovare un intervallo , tale che in ogni punto di questo intervallo la abbia lo stesso segno che . Se , allora, poichè , il punto apparterrà all'intervallo ed avrà il segno di . Quindi avrà uk segno di , ossia poichè è positivo, il segno di . Perciò:

Se è continua per , se , la differenza ha, per minore di un certo numero , segno positivo, e quindi ha in un minimo. Se invece , la ha nel punto un massimo.

|Rimane da esaminare il caso . Per maggiore generalità supponiamo

;


E sia continua per . Esisterà un numero tale che nell'intorno la conserva lo stesso segno che ha nel punto . La formola di Lagrange dice che:

.


Se (ossia se h è abbastanza piccolo) allora, essendo , anche il punto appartiene all'intervallo ; e quindi ha il segno di . E quindi, per la formola citata, ha il segno di , ossia, poichè , ha il segno di . Ora è sempre positiva se è pari, ed ha il segno di , se è dispari.

Quindi ha il segno di , se è pari; e, se è dispari, esso ha il segno di se , ed ha segno contrario a quello di se . Se ne deduce tosto il seguente teorema che comprende i precedenti come casi particolari.

Se la derivata di è continua e differente da zero per , mentre le precedenti derivate vi sono nulle, allora:

Se è pari, la ha il segno di per abbastanza piccolo; e quindi ha per un minimo se , un massimo se .