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capitolo xi — § 70

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Se $\mathrm {n}$ è dispari, e $\mathrm {f^{(n)}(a)>0}$, la $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ ha il segno di $\mathrm {h}$, per $\mathrm {h}$ abbastanza piccolo; e quindi $\mathrm {f(x)}$ è crescente nel punto $\mathrm {x=a}$. Se $\mathrm {n}$ è dispari e $\mathrm {f^{(n)}(a)<0}$, la $\mathrm {f(x)}$ è decrescente nel punto $\mathrm {a}$¹.

L'ipotesi della continuità di $f^{(n)}(x)$ per $x=a$ si potrebbe rendere meno restrittiva, come abbiamo già visto nel primo caso di $n=1$.

Infatti se $f^{(n)}(a)$ è determinato e finito, allora (cfr. oss. a § 63, β pag. 199, ove è scritto $n+1$ al posto di $n$), poichè la funzione $f(x)-f(a)$ ha nel punto $a$ nulle le prime $n-1$ derivate, $f(a+h)-f(a)$ ha il segno di $h^{(n)}f^{(n)}(a)$.

Della derivata $n^{esima}$ basta dunque supporre che essa è determinata e finita nel punto $a$.

Si può dire che la curva $y=f(x)$ e la retta parallela all'asse delle $x$ definita dall'equazione $y=f(a)$, che con la curva precedente ha comune il punto di ascissa $x=a$, si attraversano in un punto ove $f(x)$ è crescente o decrescente, mentre si toccano senza attraversarsi in un punto, ove $f(x)$ ha un massimo o un minimo.

I risultati precedenti si possono provare anche così: Se $f'(a)\not =0$ ed $|f''(x)|$ ammette un limite superiore finito, la $f(a+h)-f(a)=hf'(a)+{\frac {1}{2}}h^{3}f''(a+\theta \,h)$ prova che $f(a+h)-f(a)$ ha per $|h|$ abbastanza piccolo il sefgno di $hf'(a)$, perchè $h^{2}f''(a+\theta \,h)$ è infinitesimo d'ordine superiore e che quindi in $a$ la $f(x)$ è crescente o decrescente secondo che $f'(a)$ è positivo o negativo. Se $f'(a)=0$, se $f''(a)\not =0$, e se $|f'''(x)|$ ha limte superiore finito, la $f(a+h)-f(a)={\frac {h^{2}}{2}}f''(a)+{\frac {h^{3}}{\lfloor {3}}}f'''(a+\theta \,h)$ prova che per $|h|$ abbastanza piccolo il segno di $f(a+h)-f(a)$ è quello di ${\frac {h^{2}}{2}}f''(a)$ [perchè ${\frac {h^{3}}{\lfloor {3}}}f'''(a+\theta \,h)$ è infinitesimo d'ordine superiore] ecc.

Esempi.

1° Trovare il massimo e il minimo della somma $x+y$ di due numeri, di cui è dato il prodotto $xy=1$.

Ris. Si ha $y={\frac {1}{x}}$; per cui

$x+y=x+{\frac {1}{x}}$.

1. Così, p. es., se $f'(a)=f''(a)=0$, $f'''(a)\not =0$, la funzione $f(x)$ è crescente in $x=a$ se $f'''(a)>0$, decrescente se $f'''(a)<0$. Se $f'(a)=f''(a)=f'''(a)=0$, $f^{(4)}(a)\not =0$, la funzione ha nel punto $x=a$ un minimo, se $f^{(4)}(a)>0$, un massimo se $f^{(4)}<0$; e così via. Nulla ci dice il nostro teorema, se nel punto $x=a$ sono nulle tutte le derivate della $f(x)$.