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massimi, minimi, flessi

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sua prima derivata deve essere nulla. La derivata prima di $x+{\frac {1}{x}}$ è $1-{\frac {1}{x^{2}}}$; deve dunque essere:

$1-{\frac {1}{x^{2}}}=0$,

da cui:	$x^{2}-1$,
ossia:	${\begin{cases}x=1,\,{\text{oppure}}\\x=-1.\end{cases}}$

La derivata seconda della funzione $x+{\frac {1}{x}}$ è ${\frac {2}{x^{3}}}$. Per $x=1$ queste derivata è uguale a 2; perciò, essendo la prima derivata diversa da zero d’ordine (2) pari e positiva, la funzione è data per $x=1$ ammette un minimo che è 2. Per $x=-1$ la seconda derivata della funzione $x+{\frac {1}{x}}$ diventa $-2$; essendo dunque la prima derivata diversa da zero per $x=-1$ di ordine pari e negativa la funzione data ammette nel punto $x=-1$ un massimo che è $-2$. L’allievo illustri col disegno.

Fig. 26La somma $x+y$ ha dunque un solo massimo che è $-2$ (per $x=-1$) e solo un minimo che è $2$ (per $x=1$). Questo risultato può sembrare a prima vista paradossale, perchè il massimo è minore del minimo. Ciò si spiega notando che la funzione $x+{\frac {1}{x}}$ non è continua in tutto l’intervallo da $-1$ a 1, essendovi un questo intervallo il punto 0, in cui la funzione non è neanche definita.

La funzione data $x+{\frac {1}{x}}$ si sdoppia per così dire in due altre: l’una definita per $x<0$, che ha il massimo in $x=-1$; l’altra definita per $x>0$, che ha un minimo per $x=1$.

2° Un raggio di luce va da un punto $A$ al punto $B$ attraverso una retta $r$ complanare con $AB$ (figura 26). Prima di giungere ad $r$ ha la velocità $v$; poi acquista la velocità $w$. Cercare il punto $C$ ove il raggio incontra la retta $r$, in guisa che il tempo $y$ impiegato a percorrere complessivamente i segmenti $AC$, $CB$ sia minimo.