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massimi, minimi, flessi

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Consideriamo i punti $A$, $B$ della curva, aventi per ascissa $a$ ed $a+h$, e la retta $AC$ tangente in $A$. Sia $C$ il punto di tale retta tangente, che ha $a+h$ per ascissa . L'ordinata di $A$ sarà $f(a)$; quella di $B$ sarà $f(a+h)$, perchè i punti $A$, $B$ giacciono sulla curva $y=f(x)$.

Fig. 28. Se $\eta$ è l'ordinata di $C$, il coefficiente angolare della retta $AC$ è

${\frac {{\text{ordinata di}}\,C-{\text{ordinata di}}\,A}{{\text{ascissa di}}\,C-{\text{ascissa di}}\,A}}={\frac {\eta -f(a)}{h}}$.

Ma $AC$ è tangente in $A$ alla $y=f(x)$; il suo coefficiente angolare è perciò $f'(a)$. E si ha quindi

${\frac {\eta -f(a)}{h}}=f'(a)$.

Donde, risolvendo rispetto ad $\eta$, si ha che l'ordinata $\eta$ di $C$ vale $f(a)+hf'(a)$. Quindi la differenza

(ordinata di $B$) $-$ (ordinata di $C$) $=$

$=f(a+h)[f(a)+hf'(a)]=[f(a+h)-f(a)]-hf'(a)=$

$=hf'(a+\theta \,h)-hf'(a)=h|f'(a+\theta \,h)-f'(a)|\,\,\,$; (1)

$0<\theta <1$,

come si riconosce tosto in virtù del teorema della media di Lagrange,

Distinguiamo ora parecchi casi:

1° La $f'(x)$ sia in $x=a$ crescente. In tal caso

$f'(a+\theta \,h)-f'(a)$