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massimi, minimi, flessi

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la concavità (o la convessità) sono volte verso il basso, si suol dire che in tale punto la curva volge la concavità o convessità) verso l'asse delle $x$ . La stessa locuzione si usa in un punto di ordinata negativa per dire che la concavità (o convessità) sono volte verso l'alto. Dunque: Una curva volge in un suo punto (di ordinata differente da zero) la concavità (convessità) verso l'asse delle $\mathrm {x}$ se $\mathrm {y}$ ed $\mathrm {y''}$ hanno ivi segno contrario (ugual segno), ossia se $\mathrm {yy''}$ è negativo (positivo)..

Esempio.

Si studii l'andamento della curva

$y=x^{3}+ax^{2}+bx+c$

Ris. Posto $Y=y$ , $X=x+{\frac {a}{3}}$ (ciò che equivale, quando si considerino $X$ , $Y$ come nuove coordinate, a fare una traslazione parallela all'asse delle $x$ ), si avrà

$Y=\left(X-{\frac {a}{3}}\right)^{3}+a\left(X-{\frac {a}{3}}\right)^{2}+b\left(x-{\frac {a}{3}}\right)+c$ ,

ossia $Y=X^{3}+pX+q$ , dove $p$ , $q$ sono costanti facili a determinarsi, dipendenti soltanto dalle $a$ , $b$ , $c$ . I massimi e minimi di $Y$ si ottengono risolvendo la $Y'=3X^{+}p=0$ donde $X=\pm {\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$

Se $p>0$ non vi sono nè massimi nè minimi e la $Y$ è sempre crescente (perchè $Y'>$ dappertutto). Se invece $p\leq \,O$ , sostituendo il valore trovato di $X$ in $Y''=X$ , si ottiene $\pm 6{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$ . Se $p=0$ , questa derivata è nulla, poichè $Y'''=6\not =0$ , il punto trovato non è un punto nè di massimo, nè di minimo.